一个句子当中多个动词出现，后面的应该是非谓语动词，且是主动发生，应该用ing吧。但这个句子：

关于非谓语动词，在英语中最常见，由于汉语没有相似的语法现象，所以，学起来就觉得别扭。但是，英语是非谓语比我们汉语要好学得多。
首先，必须弄明白每一种非谓语动词的功能，然后结合汉语，慢慢就习惯了。
由于时间关系，这里就不一一说出非谓语动词的用法了。只就你的问题来说一下‘并列谓语’。这个句子里面，你提到的是并列谓语。
并列谓语的规律是：
主语发出一连串的而且有先后顺序的动作，在倒数第一个词和第二个词之间用and连接，其他的用逗号隔开。
如有不懂的，请追问。

非谓语，进行且表示主动应该是-ing.
举个例子：Teacher walks in the classroom, holding on a book.
老师拿着一本书走进教室。holding on既是进行，又是主动。
你说的句子，Being happy,Tom has finished homework.是可以的。但是finish不可以是进行时态的任何一种时态。因为这是非延续性动词。动作在发生的一瞬间就结束了。不可能完成这个动作持续很久。所以being finished是错的。总的来说这是进行时态的一种。

came,sat,folded,looked都是谓语，这是并列谓语。一个句子中多个动词出现，有三种情况：一种是做并列谓语，第二种是：助动词+实义动词，构成各种时态和语态，作谓语。第三种就是你说的，一个动词作谓语，剩下的构成非谓语结构。

sat，folded在这个句子里是和came，looked一样，都是并列做谓语的，你可以这么理解:
He came into my class and sat down and folded his arms, and looked at me.

"sat","folded"是“who came into my class"这个动词的延续,与"came into"作并列动词,一起作从句的谓语.