高三文科数学试卷及答案

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高三数学导数运算

【同步教育信息】
一. 本周教学内容
导数运算
1. 幂函数 的导数公式
（ ）
证明：

2. 常数函数的导数公式

证明：由
则 ，故
3. 导数的运算法则
如果 ， 有导数 ， ，则有

即两个函数的和或差的导数，等于这两函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数。

【典型例题】
[例1] 求下列函数的导数。
（1）
（2）

[

[例3] 已知函数 且函数 的图象关于原点对称，其图象在 处的切线为 ，试求 解析式。
解：由 关于原点对称则
即

上式对任意 都成立，则
又 的图象在 处的切线方程为 即
由 ，则
故 即 得
故所求解析式为

[例4] 已知抛物线 与直线 交于点M、N、P为抛物线上弧 上任意一点，求使 面积最大时的点P的坐标。
解：设P（ ， ）是抛物线 上弧 上一点，由 ，则抛物线在点P的切线斜率为 。
当过P的切线平行于MN时，P到MN的距离为最大，而直线MN的斜率为
故 ，
于是点P的坐标为（ ， ）

[例5] 设 ， ，曲线 在点P（ ， ）处切线的倾斜角的取值范围是 ，则P到曲线 对称轴距离的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解： ，由已知 ，即
则点P（ ， ）到曲线 对称轴距离为
，选B。

试题答案
1. 解：设切点坐标（ ， ）
则 或
2. 解：由
由

高三数学导数的应用（二） 最大值与最小值人教版

【同步教育信息】
一. 本周教学内容
导数的应用（二） 最大值与最小值
一般地，在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值，例如 在 内的图象连续，但无最大值和最小值。
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求 在 内的极值；
（2）将 的各极值与 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【典型例题】
[例1] 求函数 在区间 上的最大值与最小值。
解： ，令 ，有
当 变化时， ， 的变化情况如下表：

0
1
2

－ 0 + 0 － 0 +

13 ↓ 4 ↑ 5 ↓ 4 ↑ 13
从上表可知，函数 在区间 上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下：

[例2] 已知 ， 的最大值为3，最小值 ，求 、 的值。
解：依题意 ，否则 与已知矛盾。

令 解得 或
（1）当 时，由 解得
令 ，解得 ，列表如下：

0
2

+ 0 －

↑ 极大
↓

由 连续，则当 时， 有最大值，即 ，又由 ，则 为最小值，故
所以，当 时， ，
（2）当 时，列表如下：

0
2

－ 0 +

↓ 极小 ↑

故 最小值为 ， 最大值为
所以，当 时， ，

[例3] 已知两个函数 ， ，其中
（1）对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围。
（2）对任意的 ， 都有 ，求 的取值范围。
解：
（1）设 ，则对任意的 ，都有 成立
， ，
，令 ，则 或 ，列表如下：

2
3

+ 0 － 0 +

↑
↓ ↑

由上表可知
则
（2）对任意 ， 都有 成立 ，
先求 ，
令 得 或 ，列表如下：

3

+ 0 － 0 +

↑
↓
↑

则
再求 的最大值， ， ， ，于是
[例4] 如图，在二次曲线 的图象与 轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积。

解：设点B坐标 ，则点C坐标为
，
矩形ABCD的面积为

令 得
故当 时，有S最大值为

试题答案
1. 解：
解之得 ，
故解析式为

0
1

+ 0 －

↑ 极大 ↓

2. 解：
（1） 在 上是增函数 恒成立
（2）易求得，当 时，
恒成立 或
3. 解：设容器底面边长为 ，则另一边长为 ，高为
= 则容器容积为

令 有 ， （舍），故当 时， 有最大值， ，此时高为1.2。
答：高为1.2m时，容积最大为 。

高三数学导数的概念与几何意义人教版

【同步教育信息】
一. 本周教学内容
导数的概念与几何意义

1. 导数的概念
设函数 在 及其近旁有定义，用 表示 的改变量，于是对应的函数值改变量为 ，如果极限 存在极限，则称函数 在点 处可导，此极限值叫函数 在点 处的导数，记作 或
称为函数 在 到 之间的平均变化率，函数 在点 处的导数即平均变化率当 时的极限值。
2. 导数的几何意义
函数 在一点 的导数等于函数图形上对应点 的切线斜率，即 ，其中 是过 的切线的倾斜角，过点 的切线方程为

3. 导数的物理意义
函数 在 的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函数 表示运动路程，则 表示在 时刻的瞬时速度。
4. 导函数的概念
如果函数 在开区间 内每一点都可导，就说 在 内可导，这时，对于开区间 内每个确定的值 都对应一个确定的导数 ，这就在 内构成一个新的函数，此函数就称为 在 内的导函数，记作 或 ，即
而当 取定某一数值 时的导数是上述导函数的一个函数值。
导数与导函数概念不同，导数是在一点处的导数 ，导函数是某一区间 内的导数，对

导函数是以 内任一点 为自变量，以 处的导数值为函数值的函数关系，导函数反映的是一般规律，而 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。

【典型例题】
[例1] 已知函数 在 处存在导数 ，求 。
解：上式

令 ，当 时，
上式

[例2] 已知 ，求导函数
解：

注：利用定义求导数的步骤
（1）求函数增量
（2）求平均变化率
（3）取极限

[例3] 已知曲线C： 及点 ，则过点P可向C引切线条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解：设切点 则切线 的方程为：
即

由点 在直线 上，故

或 或
所以过点 向C可引三条切线

试题答案
1. D 2. D 3. 2 4. 0或2 5. 6.
7. 或
8.
9.
10. 或

【模拟试题】
1. 若直线 是曲线 的切线，求常数 的值。
2. 若两曲线 与 都过P（1，2）点，且在这点有公切线，求 、 、 的值。
3. 证明：在两抛物线 ， 的交点处它们的切线互相垂直。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 函数 （ ）在 的最大值为5，最小值为 ，求 的解析式。
2. 已知函数
（1）若 在 上是增函数，求b的取值范围。
（2）若 在 时取得极值，且 时， 恒成立，求 的取值范围。
3. 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容积最大？并求出它的最大容积？

【模拟试题】
1. 抛物线 在点 处的切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 与直线 平行的曲线 的切线方程是（ ）
A. B.
C. D. 或
3. 某物体运动规律是 ，则在 时的瞬时速度为0。
4. 已知 ，若 ，则 。
5. 已知 ，满足 ， ， ，则 ， ， 。
6. 曲线 在点 处的切线与 轴， 轴的交点分别是 与 。
7. 平行于直线 且与曲线 相切的直线方程是 。
8. 垂直于直线 且与曲线 相切的直线方程是 。
9. 已知A、B是抛物线 上横坐标分别为 ， 的两点，求抛物线的平行于割线AB的切线方程 。
10. 若抛物线 的切线与直线 的夹角为 ，求切点坐标 。

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