1*2+2*3+.....n*（n+1）=？

第一项：1+1；第二项：4+2；第三项：9+3......以此类推，第n项：n平方+n。
每一项的第一个数字相加：1+4+9+16......+n平方=[n*(n+1)*(2n+1)]/6；
每一项的第二的数字相加：1+2+3+4......+n=[n*(n+1)]/2；
两项相加：[n*(n+1)*(2n+1)]/6+[n*(n+1)]/2=[n*(n+1)(n+2)]/3；
所以，1*2+2*3+.....n*（n+1）=[n*(n+1)(n+2)]/3。

因为 k*(k+1) = k² + k
所以 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n+1)
= (1²+1) + (2²+2) + (3²+3) + ... + (n²+n)
= (1²+2²+3²+...+n²) + (1+2+3+...+n)
= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= [n(n+1)/6] * (2n+1+3)
= n(n+1)(n+2)/3

希望能帮助你！

因为 k*(k+1) = k² + k
所以 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n+1)
= (1²+1) + (2²+2) + (3²+3) + ... + (n²+n)
= (1²+2²+3²+...+n²) + (1+2+3+...+n)
= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= [n(n+1)/6] * (2n+1+3)
= n(n+1)(n+2)/3