个对称型（点群）及其推导

晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型（class of symmetry）或点群（point group）。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群，因为在晶体形态中，全部对称要素相交于一点（晶体中心），在进行对称操作时至少有一点不移动，并且各对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念（见第六章），所以称为点群。对称型与点群是一一对应的。

根据晶体形态中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32种（表3-2）。这32个对称型（点群）的推导方法可以根据上述对称要素组合定理，直观地推导出来。

首先回顾一下晶体形态上可能存在的对称要素，它们是：对称轴L¹、L²、L³、L⁴、L⁶；对称面 P；对称中心 C；旋转反伸轴+C，=L ³+P_⊥。

为了便于推导，我们把这些对称要素的组合分为两类：把高次轴不多于一个的组合称为A类；把高次轴多于一个的组合称为B类。

1.A类对称型的推导

上列对称要素可能的组合共有以下7种情况：

（1）对称轴Lⁿ单独存在，可能的对称型为L¹；L²；L³；L⁴；L⁶。

表3-2 正多边形可能围成的正多面体及其对称轴的组合

图3-12 Lⁿ与L²的组合

（2）对称轴与对称轴的组合。由于A 类只包括高次轴不多于一个的对称型，所以只考虑 Lⁿ 与L² 的组合，如果 L² 与Lⁿ斜交仍有可能出现多于一个的高次轴，如图3-12（a）L² 与 Lⁿ 斜交，则 Lⁿ围绕L² 旋转 180°，必将产生另一个 Lⁿ；而如图3-12（b）当 L² 垂直 Lⁿ 时则不会产生新的Lⁿ。因此在这里我们只考虑 Lⁿ与垂直它的L ² 的组合。根据上节所述对称要素组合规律，可能的对称型为：（L¹ L²=L²）；L²2 L²=3 L²；L³3 L²；L⁴4 L²；L⁶6 L²。（括号内的对称型与其他项推导出的对称型重复，下同。）

（3）对称轴Lⁿ与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合定理L^n（偶）×P_⊥→L^n（偶）P_⊥C，则可能的对称型为：（L¹ P=P）；L² PC；（L³ P=）；L ⁴ PC；L ⁶ PC。

（4）对称轴Lⁿ与包含它的对称面的组合。根据组合定理Lⁿ×P_∥→LⁿnP_∥，可能的对称型为：（L¹P=P）；L²2P；L³3P；L⁴4P；L⁶6P。

（5）对称轴 Lⁿ 与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直 Lⁿ 的P 与包含Lⁿ 的P 的交线必为垂直Lⁿ 的L² （图3-13），即 Lⁿ ×P_⊥ ×P_∥→Lⁿ ×P_⊥×P_∥×→LⁿnL² （n+1）P（C）（C 只在有偶次轴垂直P 的情况下产生），可能的对称型为：（L¹L²2P=L²2P）；L²2L²3PC=3L²3PC；（L³3L²4P=）；L⁴4 L²5 PC；L⁶6 L²7 PC。

图3-13 Lⁿ与P 的组合

（a）（b）P包含Lⁿ、垂直Lⁿ都不产生新的Lⁿ；（c）Lⁿ与两个P组合（一个P包含Lⁿ，另一个P垂直Lⁿ，则这两个P互相垂直将在两P交线上产生一个L²；（d）P与Lⁿ斜交将产生新的Lⁿ

（6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：=C；=P；=L³ C；=L³ P_⊥。

（7）旋转反伸轴与垂直它的L² （或包含它的 P）的组合。根据组合定理，当 n 为奇数时会产生，可能的对称型为：=L ² PC）；=L33 L23 PC；当 n 为偶数时会产生（n/2）（n/2）P∥，可能的对称型为：（=L22 P）；；=L³3 L²4 P。

由于对称面 P=，对称中心 C=，故不再单独列出。

综合以上，共推导出 A 类对称型27种（见表3-3）。

2.B类对称型的推导

首先让我们考虑高次轴 L⁴ 与 L³ 的组合。如图3-14所示，设有一个 L⁴ 与 L³ 相交于晶体中心，由于 L⁴ 的作用，在 L⁴ 的周围可获得4个 L³。在每个 L³ 上距晶体中心等距离的地方取一个点，连结这些点可以得到一个正四边形（即图 3-14 中的立方体的正方形的面），L⁴ 出露于正四边形的中心，L³ 出露于正四边形的角顶。由于 L³ 的作用，在 L³ 的周围必定可以获得3个正四边形，它们会集而成一个凸三面角，L³ 即出露于这个凸三面角的角顶上。这样，我们就获得了一个由 6 个正四边形和 8 个凸三角组成的正多面体———立方体。高次轴 L⁴ 与 L³ 的组合就相当于正四边形所组成的正多面体———立方体中高次轴的组合。

由此可知，在B类对称型中，高次轴Lⁿ与L^m的组合，相当于由正多边形所组成的正多面体中的高次轴的组合。

在立体几何学中业已证明，一个凸多面角至少须由3 个面组成，且其面角之和须小于360°。因此围成正多面体的正多边形只可能是正三角形（内角60°）、正方形（内角90°）和正五边形（内角108°）。它们可能围成的正多面体及其所具有的对称轴的组合如表3-2所列。

图3-14 L⁴与 L³的组合图解

从表3-2 可以看出，正三角十二面体和正五角十二面体皆具有 L⁵，与晶体的对称不符，可不予考虑。其余3种多面体中对称轴的组合有下面两种类型：①立方体及八面体3 L⁴4 L³6 L²；②四面体3 L²4 L³。

在第一种对称型3L⁴4L³6L²中加入一个不产生新对称轴的对称面，可以获得如下的第3种对称型：③3L⁴4L³6L²9PC。

在上述第二种对称型3L²4L³中加入不产生新对称轴的对称面的方法有二，其一是垂直L²的对称面，其二是与两个L²等角度（45°）斜交的对称面，其结果可分别获得如下的第4种和第5种对称型：④3 L²4 L³3 PC；⑤。

属于B类的对称型共有上列的5种。

综合 A、B 两类，晶体中可能有的对称型共32种，如表3-3所列。

表3-3 32种对称型的推导