因为∑(n=1->∞) |xn-x(n+1)|收敛
所以部分和数列Sn=|x1-x2|+|x2-x3|+...+|xn-x(n+1)|收敛
而且数列Un=|xn-x(n+1)|收敛于0
①Sn=|x1-x2|+|x2-x3|+...+|xn-x(n+1)|
>=|(x1-x2)+(x2-x3)+...+[xn-x(n+1)]|
=|x1-x(n+1)|
>=|x(n+1)|-|x1|
|x(n+1)|<=Sn+|x1|
因为Sn收敛，所以Sn有界，即x(n+1)有界
②因为|xn-x(n+1)|收敛于0
所以对任意ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-x(n+1)|<ε
即当a>N，b>N，a
<=|xa-x(a+1)|+|x(a+1)-x(a+2)|+...+|x(b-1)-xb|
<ε+ε+...+ε
=(b-a)ε
所以数列{xn}满足柯西收敛准则
综上所述，{xn}收敛
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