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已知a>b>c,求证:ab^2+bc^2+ca^2<a^2b+b^2c+c^2a

2024-12-28 09:38:01

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回答1：

作差即可，
用分析法的话，即证：a^2b-bc^2+b^2c-ab^2-a^2c+ac^2>0
等价于：a^2(b-c)+c^2(a-b)+b^2(c-a)>0
因为 a>b>c 所以 b-c>0 a-b>0 所以即证明
a^2(b-c)+c^2(a-b)>b^2(a-c)
因为 b^2(a-c)>(a-b)b^2>c^2(a-b)
所以 b^2(a-c)-c^2(a-b)=（b-c）(ab+ac-bc)
因为 (ab+ac-bc)=ab+c(a-b)
且 c（a-b）即 ab+c(a-b)所以 b^2(a-c)-c^2(a-b)ab^2+bc^2+ca^2