51问答网 > 已知函数f（x）=2 sinxcosx+2cos 2 x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， ]上的最

已知函数f（x）=2 sinxcosx+2cos 2 x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， ]上的最

2025-02-25 18:39:01

推荐回答（1个）

回答1：

解：（Ⅰ）由f（x）=2 sinxcosx+2cos² x﹣1，得
f（x）= （2sinxcosx）+（2cos² x）﹣1）= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+ ）在区间[0， ]上为增函数，在区间[ ， ]上为减函数，
又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，
所以函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x₀ ）=2sin（2x₀ + ）
又因为 f（x₀ ）= ，所以sin（2x₀ + ）=
由x₀ ∈[ ， ]，得
2x₀ + ∈[ ， ]
从而cos（2x₀ + ）=﹣ =﹣ ．
所以cos2x₀ =cos[（2x₀ + ）﹣ ]=cos（2x₀ + ）cos +sin（2x₀ + ）sin = ．