51问答网 > 证明:定义在对称区间上的任何函数都可唯一表示成一个偶函数与一个奇函数之和。谢谢解答！

证明:定义在对称区间上的任何函数都可唯一表示成一个偶函数与一个奇函数之和。谢谢解答！

2024-12-12 04:44:48

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回答1：

　　设 f(x) 是你的任意函数。
　　存在性证明：做
　　　g(x) = [f(x)+f(-x)]/2，h(x) = [f(x)-f(-x)]/2，
易验，以上两函数分别是偶函数和奇函数，且
　　　f(x) = g(x)+h(x)。
　　唯一性证明：设
　　　f(x) = g1(x)+h1(x)， (*)
其中g1(x) 与 h1(x) 分别是偶函数和奇函数，则有
　　　f(-x) = g1(-x)+h1(-x) = g1(x)-h1(x)， (**)
由 (*) 和 (**) 可解得
　　　g1(x) = [f(x)+f(-x)]/2，h1(x) = [f(x)-f(-x)]/2，
唯一性得证。