如何确定常系数非齐次线性微分方程的特解形式

2025-02-27 09:26:32

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回答1：

例如：
y''+2y'+y=e^x(1)//:这是二阶常系数非齐次线性微分方程；
它的特解就是找到一个函数y=f(x)，代入(1)之后，(1)式成立，则f(x)就是(1)的特解；
本例中，取y=f(x)=e^x/4，将其代入(1)，得到：
(e^x+2e^x+e^x)/4=e^x
4e^x/4=e^x
即：y=f(x)=e^x/4为二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的一个特解。

回答2：

特解y=(x^k)(e^Lx)(R1(x)cosx+R2(x)sinx);
其中k由L是齐次方程的几重根来决定，不是特征方程的根为k=0，1重k=1，2重k=2；
R1(x)与R2(x)的次数为原来非齐次方程等式右边中多项式的最高次数。