2分之一加6分之一加12分之一加20分之一加......加90分之一

1/2=1/(1×2)=1/1-1/2
1/6=1/(2×3)=1/2-1/3
1/12=1/(3×4)=1/3-1/4
1/20=1/(4×5)=1/4-1/5
……
分母是两个相邻自然数的乘积，接下来是：
1/(5×6)=1/5-1/6
1/(6×7)=1/6-1/7
1/(7×8)=1/7-1/8
1/(8×9)=1/8-1/9
1/90=1/(9×10)=1/9-1/10
求和：
1/2+1/6+……+1/90
=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6
-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10
=1-1/10
=9/10

1/2+1/6+12-/12+....+1/90
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.....+(1/9-1/10)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4.....+1/9-1/10
=1-1/10
=9/10

我们先看一下：1/n*(n-1)=n-(n-1)/n*(n-1)
=n/n*(n-1)-(n-1)/n*(n-1)
=1/(n-1)-1/n
那么 原式=1/1*2+1/2*3+1/3*4....+1/9*10
=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/9-1/10
=1/1-1/10
=9/10

6分之一可以转化为2分之一减去3分之一，同理
12分之一可转化为3分之一减去4分之一 以此类推...加起来可以抵消

=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(9*10)
=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/9-1/10
=1-1/10
=9/10