公安机关和检察院哪个机关负责立案侦查？

两个机关都可以负责立案侦查，要看你究竟是什么案件。
两者的区别：公安机关负责案件的侦查，检察机关负责提起公诉和对公安机关侦查的监督，也负责一部分案件的侦查（自侦案件），主要就是和当官的有关。人民检察院自行侦查的案件有：
（一）贪污贿赂犯罪案件：
1、贪污案； 2、挪用公款案； 3、受贿案； 4、单位受贿案；
5、行贿案； 6、对单位行贿案； 7、介绍贿赂案； 8、单位行贿案；
9、巨额财产来源不明案； 10、隐瞒境外存款案；
11、私分国有资产案； 12、私分罚没财物案。
（二）渎职犯罪案件：
1、滥用职权案； 2、玩忽职守案；
3、国家机关工作人员徇私舞弊案； 4、故意泄露国家秘密案；
5、过失泄露国家秘密案； 6、在法追诉、裁判案；
7、民事、行政在法裁判案； 8、私放在押人员案；
9、失职致使在押人员脱逃案； 10、徇私舞弊减刑、假释、暂予监外执行案；
11、徇私舞弊不移交刑事案件案； 12、滥用管理公司、证券职权案；
13、徇私舞弊不征、少征税款案； 14、徇私舞弊发售发票、抵扣税款、出口退税案；
15、违法提供出口退税凭证案； 16、国家机关工作人员签订、履行合同失职被骗案；
17、违法发放林木采伐许可证案； 18、环境监管失职案；
19、传染病防治失职案； 20、非法批准征用、占用土地案；
21、非法低价出让国有土地使用权案； 22、放纵走私案；
23、商检徇私舞弊案； 24、商检失职案；
25、动植物检疫徇私舞弊案； 26、动植物检疫失职案；
27、放纵制售伪劣商品犯罪行为案； 28、办理偷越国（边）境人员出入境证件案；
29、放行偷越国（边）境人员案； 30、不解救被拐卖、绑架妇女、儿童案；
31、阻碍解救被拐卖、绑架妇女、儿童案； 32、帮助犯罪分子逃避处罚案；
33、招收公务员、学生徇私舞弊案； 34、失职造成珍贵文物损毁、流失案。

（三）国家机关工作人员利用职权实施的下列犯罪案件：
1、非法拘禁案； 2、非法搜查案； 3、刑讯逼供案；
4、暴力取证案； 5、虐待被监管人案； 6、报复陷害案；
7、破坏选举案。
（四）国家机关工作人员利用职权实施的其他重大的犯罪案件， 需要由人民检察院直接受理的时候，经省级以上人民捡察院决定，可以由人民检索院立案侦查。
除此之外的案件由公安机关负责侦查。