证明方程x^n+x^n-1+……+x=1在（0 1）至少有一个解 其中n不小于2 。

令f(x)=X^n+X^n-1+....+X^2+X-1,
则f(0)=-1<0,f(1)=n-1>=2-1=1
显然f(x)是单
增函数
，所以在（0,1）内必有唯一实根Xn
左边有
我们说看到Xn是关于n单减的，下面用
反证法
证明：
如若不然，则存在k>=2,使
Xk+1>=Xk
有
1
=
(Xk+1)^(k+1)
+
(Xk+1)^(k)+
...
+Xk+1
>=
(Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+
...
+Xk
=(Xk+1)^(k+1)+1>1
得到了1>1矛盾。
所以Xn单减，而有下界是显然的，所以Xn收敛，设Xn→x
对于左边用
等比数列
求和有
Xn(1
-
(Xn)^n)/(1-Xn)=1
n→∞有
x/(1-x)=1
解得x=1/2
所以Xn→1/2

显然x≠0
将方程x^n+x^n-1+……+x=1两边同乘以x
x^(n+1)+x^n+……+x²=x
∴x^(n+1)+1-x=x
令f(x)=x^(n+1)+1-2x
f(0)=1,f(1)=0,f(0.9)=0.9^(n+1)-0.8
n=2时f(0.9)=0.9^3-0.8＜0
函数y=0.9^(n+1)是个减函数
∴n不小于2
时，f(0.9)＜0
∴方程x^n+x^n-1+……+x=1在（0
1）至少有一个解
其中n不小于2

证：构造函数f(x)=x^n+x^n-1+...+x-1,明显，该函数在区间[0,1]内连续，又因为f(0)=-1,f(1)=n-1>0；
故有f(0)*f(1)<0；
所以必然存在X0在区间(0,1)内使得f(x0)=0.....