解一元三次方程;x^3+x+1=0，要过程

令x=u+v,则原式变为（u+v）^3=-(u+v)-1

则：u^3+v^3+3uv(u+v)=-1-(u+v)

左右对应相等得：u^3+v^3=-1，3uv=-1。

则：u^3+v^3=-1, u^3v^3=-1/27

根据韦达定理：v^3和u^3是x^2+x-1/27=0的两个根。

解得：u^3=-1/2+1/2乘以根号下31/27

v^3=-1/2-1/2乘以根号下31/27

根据x^3=1有3个解，x1=1，x2=w，x3=w^2 , 这里w=(-1+根号3i)/2

x=u1+v1 解得u是3个解，u1=3次根号下-1/2+1/2乘以根号下31/27，u2=u1w,u3=u1w^2

同理v1=3次根号下-1/2-1/2乘以根号下31/27，v2=v1w，v3=v1w^2

所以x1=u1+v1，x2=u1w+v1w^2，x3=v1w+u1w^2

扩展资料：

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

卡尔丹判别法：

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

在所得的结果是近似值的情况下，如果把近似值代入原方程，那么原方程的左边不为零，此时用代入法检验不能判断结果是否正确，要用韦达定理检验才能判断结果是否正确。

参考资料来源：百度百科——解一元三次方程

由：x^3+x-1=0,方程两边都除以x 
得x^2+1-1/x=0 
即：x^2+1=1/x 
依题意得方程x^3+x-1=0的实根是函数y=x^2+1与y=1/x 的图象交点的横坐标， 
这两个函数的图象如图所示 
∴它们的交点在第一象限 
当x=1时，y=x^2+1=2，y=1/x =1，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 
当x=1/2 时，y=x^2+1=5/4 ，y=1/x =2，此时反比例函数的图象在抛物线的上方 
∴方程x^3+x-1=0的实根x所在范围为 1/2＜x＜1．

令x=u+v,则原式变为（u+v）^3=-(u+v)-1
则：u^3+v^3+3uv(u+v)=-1-(u+v)
左右对应相等得：u^3+v^3=-1 , 3uv=-1。
则：u^3+v^3=-1, u^3v^3=-1/27
根据韦达定理：v^3和u^3是x^2+x-1/27=0的两个根。
解得：u^3=-1/2+1/2乘以根号下31/27
v^3=-1/2-1/2乘以根号下31/27
根据x^3=1有3个解，x1=1，x2=w，x3=w^2 , 这里w=(-1+根号3i)/2
x=u1+v1 解得u是3个解，u1=3次根号下-1/2+1/2乘以根号下31/27，u2=u1w,u3=u1w^2
同理v1=3次根号下-1/2-1/2乘以根号下31/27，v2=v1w，v3=v1w^2
所以x1=u1+v1，x2=u1w+v1w^2,x3=v1w+u1w^2