证明若A是n阶正定矩阵，则存在 n阶正定矩阵B，使得A=B^2

正定矩阵都是对称阵，所以可以正交相似对角化。即存在正交阵O使得
A=O'diag{a1,a2,...,an}O，
再由A正定知对角元全为正数，即a1,a2,...,an>0。
令b1=√a1,b2=√a2,...,bn=√an，并取
B=O'diag{b1,b2,...,bn}O，
则B正定（对角元全为正数），且
B^2=B*B
=O'diag{b1,b2,...,bn}O*O'diag{b1,b2,...,bn}O
=O'diag{b1^2,b2^2,...,bn^2}O（由O为正交阵，O*O'=I）
=O'diag{a1,a2,...,an}O
=A。
证毕

不一定，a*=|a|a^-1——伴随矩阵等与其行列式乘以它的逆。因此，a*b*的问题转化成了他们的逆矩阵的问题。正定矩阵的逆矩阵仍然是正定矩阵，于是，这道题就相当于问正定矩阵的乘积是否为正定矩阵。
当然很容易证明，正定矩阵的乘积的特征值都是整数。因此有人误以为正定矩阵的乘积正定了。这也是这道题之所以被很多试卷采用的原因之一。
其实，正定矩阵要求三条：第一，实矩阵。第二，对称。第三，特征值都大于零。两个正定矩阵的乘积可以保持第一，第三个条件，唯独很难保证第二个条件。只有当他们相乘可以交换的时候，才可以保证第二个条件。所以，正定矩阵的乘积未必正定。
最后，提醒一下，在处理矩阵的判断题的时候，要先考虑矩阵的乘积特殊性：不为零的乘积为零；乘积是否可以交换。祝你学有所成！