珠海2010初中数学竞赛答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若 ，则 的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解： 由题设得 ．
2．若实数a，b满足 ，则a的取值范围是 （ ）．
（A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤ 或 a≥4 （D） ≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB= ，BC= ，CD＝ ，则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE= ，CF＝ ，DF＝2 ，
于是 EF＝4＋ ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ ．
4．在一列数 ……中，已知 ，且当k≥2时，
（取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：B
由 和 可得
， ， ， ，
， ， ， ，
……
因为2010=4×502+2，所以 =2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010， ）
（C）（2012， ） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点 ， 的坐标分别为（2，0），（2， ）．
记 ，其中 ．
根据对称关系，依次可以求得：
， ， ， ．
令 ，同样可以求得，点 的坐标为（ ），即 （ ），
由于2010=4 502+2，所以点 的坐标为（2010， ）．
二、填空题
6．已知a＝ －1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
解：0
由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

2010-3-21 12:41 回复
122.76.166.* 2楼

解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
， ①
， ② ． ③
由①②，得 ，所以，x=30． 故 （分）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线 即为所求的直线 ．
设直线 的函数表达式为 ，则
解得 ,故所求直线 的函数表达式为 ．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．

解：
见题图，设 ．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB，所以 即 ，
解得 ，或 （舍去）．
又Rt△ ∽Rt△ ，所以 ， 即 = ．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若 的最小值 满足 ，则正整数 的最小值为 ．
解： 因为 为 的倍数，所以 的最小值 满足
，
其中 表示 的最小公倍数．
由于
，
因此满足 的正整数 的最小值为 ．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．

证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC， FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
，
所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而 ，
所以 . …………（20分）

2010-3-21 12:41 回复
122.76.166.* 3楼

12．如图，抛物线 （a 0）与双曲线 相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC‖x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 .
设点B（t， ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，则有
解得 ， .
于是，直线AB与y轴的交点坐标为 ，故
，整理得 ，
解得 ，或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（ ， ）．
因为点A，B都在抛物线 （a 0）上，所以 解得 …………（10分）
（2）如图，因为AC‖x轴，所以C（ ，4），于是CO＝4 . 又BO=2 ，所以 .
设抛物线 （a 0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（ ，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝ ，所以∠COB= .
（i）将△ 绕点O顺时针旋转 ，得到△ .这时，点 ( ，2)是CO的中点，点 的坐标为（4， ）.
延长 到点 ，使得 = ，这时点 （8， ）是符合条件的点.
（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ，得到点 （1， ）；延长 到点 ，使得 ＝ ，这时点E2（2， ）是符合条件的点．
所以，点 的坐标是（8， ），或（2， ）. …………（20分）

13．求满足 的所有素数p和正整数m.

．解：由题设得 ，
所以 ，由于p是素数，故 ，或 . ……（5分）
（1）若 ，令 ，k是正整数，于是 ，
，
故 ，从而 .
所以 解得 …………（10分）
（2）若 ，令 ，k是正整数.
当 时，有 ，
，
故 ，从而 ，或2.
由于 是奇数，所以 ，从而 .
于是
这不可能.
当 时， ， ；当 ， ，无正整数解；当 时， ，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11， ， ，…， （即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面，设 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数 ，因为
， ，
所以 .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设 ，i=1，2，3，…，n.
由 ，得 ，
所以 ， ，即 ≥11. …………（15分）
≤ ，
故 ≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61. …………（20分）

我有 中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周1．若 ，则 的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解： 由题设得 ．
2．若实数a，b满足 ，则a的取值范围是 （ ）．
（A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤ 或 a≥4 （D） ≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB= ，BC= ，CD＝ ，则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE= ，CF＝ ，DF＝2 ，
于是 EF＝4＋ ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ ．
4．在一列数 ……中，已知 ，且当k≥2时，
（取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：B
由 和 可得
， ， ， ，
， ， ， ，
……
因为2010=4×502+2，所以 =2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010， ）
（C）（2012， ） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点 ， 的坐标分别为（2，0），（2， ）．
记 ，其中 ．
根据对称关系，依次可以求得：
， ， ， ．
令 ，同样可以求得，点 的坐标为（ ），即 （ ），
由于2010=4 502+2，所以点 的坐标为（2010， ）．
二、填空题
6．已知a＝ －1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
解：0
由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

2010-3-21 12:41 回复
122.76.166.* 2楼

解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
， ①
， ② ． ③
由①②，得 ，所以，x=30． 故 （分）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线 即为所求的直线 ．
设直线 的函数表达式为 ，则
解得 ,故所求直线 的函数表达式为 ．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．

解：
见题图，设 ．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB，所以 即 ，
解得 ，或 （舍去）．
又Rt△ ∽Rt△ ，所以 ， 即 = ．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若 的最小值 满足 ，则正整数 的最小值为 ．
解： 因为 为 的倍数，所以 的最小值 满足
，
其中 表示 的最小公倍数．
由于
，
因此满足 的正整数 的最小值为 ．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．

证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC， FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
，
所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而 ，
所以 . …………（20分）

2010-3-21 12:41 回复
122.76.166.* 3楼

12．如图，抛物线 （a 0）与双曲线 相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC‖x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 .
设点B（t， ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，则有
解得 ， .
于是，直线AB与y轴的交点坐标为 ，故
，整理得 ，
解得 ，或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（ ， ）．
因为点A，B都在抛物线 （a 0）上，所以 解得 …………（10分）
（2）如图，因为AC‖x轴，所以C（ ，4），于是CO＝4 . 又BO=2 ，所以 .
设抛物线 （a 0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（ ，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝ ，所以∠COB= .
（i）将△ 绕点O顺时针旋转 ，得到△ .这时，点 ( ，2)是CO的中点，点 的坐标为（4， ）.
延长 到点 ，使得 = ，这时点 （8， ）是符合条件的点.
（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ，得到点 （1， ）；延长 到点 ，使得 ＝ ，这时点E2（2， ）是符合条件的点．
所以，点 的坐标是（8， ），或（2， ）. …………（20分）

13．求满足 的所有素数p和正整数m.

．解：由题设得 ，
所以 ，由于p是素数，故 ，或 . ……（5分）
（1）若 ，令 ，k是正整数，于是 ，
，
故 ，从而 .
所以 解得 …………（10分）
（2）若 ，令 ，k是正整数.
当 时，有 ，
，
故 ，从而 ，或2.
由于 是奇数，所以 ，从而 .
于是
这不可能.
当 时， ， ；当 ， ，无正整数解；当 时， ，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11， ， ，…， （即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面，设 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数 ，因为
， ，
所以 .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设 ，i=1，2，3，…，n.
由 ，得 ，
所以 ， ，即 ≥11. …………（15分）
≤ ，
故 ≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61.

希望杯...这个你要说明是哪份,你这样我帮不了你....

自己做不成啊！