分式竞赛题abc=1,a+b+c=2,a^2+b^2+c^2=3，则1⼀ab+c-1+1⼀bc+a-1+1⼀ca=b-1

解：已知abc=1,a+b+c=2,a^2+b^2+c^2=3，则
（a+b+c）^2=2^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=4
ab+bc+ac=[4-(a^2+b^2+c^2)]/2=(4-3)/2=1/2
(ab+bc+ac)^2=1/4
aabb+bbcc+aacc=1/4-2*(a+b+c)=1/4-2*2=-15/4
通分化简,并把abc=1,a+b+c=2,a^2+b^2+c^2=3,ab+bc+ac=1/2,aabb+bbcc+aacc=-15/4代入，
（分子1）=(ab+c-1)*(bc+a-1)=abbc+aab-ab+bcc+ac-c-bc-a+1
=b+aab-ab+bcc+ac-c-bc-a+1
（分子2)=(bc+a-1)*(ca+b-1)=c+bbc-bc+aac+ab-a-ac-b+1
（分子3)=(ab+c-1))*(ca+b-1)=a+abb-ab+acc+bc-c-ac-b+1
分子=（分子1）+（分子2)+（分子3)
=b+aab-ab+bcc+ac-c-bc-a+1+c+bbc-bc+aac+ab-a-ac-b+1+a+abb-ab+acc+bc-c-ac-b+1
=3-(a+b+c)-(ab+bc+ac)+aab+abb+bbc+bcc+aac+acc
=3-2-1/2+ab*(a+b)+bc*(b+c)+ac*(a+c)
=1/2+ab*(2-c)+bc*(2-a)+ac*(2-b)
=1/2+2*(ab+bc+ac)-3abc
=1/2+2*1/2-3
=-3/2
分母=(ca+b-1)*(（分子1)=(ca+b-1)*(b+aab-ab+bcc+ac-c-bc-a+1)=1+aa-a+cc+aacc-acc-c-aac+ac+bb+aabb-abb+bbcc+1-bc-bbc-ab+b-b-aab+ab-bcc-ac+c+bc+a-1
=(aa+bb+cc)+(aabb+bbcc+aacc)-(acc+aac)-(abb+aab)-(bcc+bbc)+1
=3-15/4+1-ac*(a+c)-ab*(a+b)-bc(b+c)
=1/4-ac*(2-b)-ab*(2-c)-bc*(2-a)
=1/4-2*(ac+bc+ab)+3abc
=1/4-2*1/2+3
=9/4
因为aabb+bbcc+aacc=-15/4，属复数范围，结果：
1/(ab+c-1)+1/(bc+a-1)+1/(ca+b-1)
=(-3/2)/(9/4)
=-2/3