费马点问题

费马点定义
　　在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
　　在平面三角形中:
　　(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以
AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
　　
　　(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
　　(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
　　（1）
等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。
　　（2）
当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。
证明
　　(1)费马点对边的张角为120度。
　　△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
　　△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
　　同理可得∠CBP=∠CA1P
　　由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
　　同理,∠APB=120度，∠APC=120度
　　(2)PA+PB+PC=AA1
　　将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
　　又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
　　又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
　　(3)PA+PB+PC最短
　　在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1　　平面四边形费马点
　　平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
　　（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
　　（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

光线“照亮”费马点
http://wenku.baidu.com/view/6cbd99355a8102d276a22fe4.html 你看了就明白了，加权费马点

费马点的小论文
费马(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律师和法国政府的公务员，他利用闲暇的时间研究数学，他从未发表他的研究发现，但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信。曾经，费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心。
费马点的定义
费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
费马点的证明
证明一
Part1当有一个内角大于等于120度时候

对三角形内任一点P
延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点

Part2当所有内角都小于120°时
做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S
则有2S=d(PA+PB+PC)
∵P'A≥P'H
所以2S△EP'F≤P'A×d
同理有
2S△DP'F≤P'B×d
2S△EP'D≤P'C×d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号
所以P是费马点
证明二
如右图所示，⊿ABE、⊿ACH、⊿BCG均为等边三角形，连接AG、CE、BH，CE与AB相交于F，则：
∵⊿AEC≌⊿ABH，
∴∠1=∠2，∴⊿BFP∽⊿EFA ，∠3 =∠4=60°
在PE上取点D ，使得 ⊿DBP为正三角形
则⊿ABP≌⊿EBD，得 AP=ED
∴PA+PB+PC=DE+PD+PC=CE

费马点的应用
(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？