定积分计算球表面积为什么不能用S=∫2π*(R^2-x^2)^0.5*dx=2π^2R^2

确实不能。

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1、楼主的积分方法，是下面第一张大红色图片上的一个个

     圆弧的面积的总和；

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2、而真正的面积元是第二张棕色图片上的一个个圆弧的面积之和。

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3、这两者之差，类似于按直角三角形的直角边计算，还是按直角

     三角形的斜边计算？

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4、如有疑问，欢迎追问，有问必答。

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请问为什么体积可以直接按圆柱分呢

不能按圆周长的简单积分，对圆周长积分其微元的实质就是小圆柱体了，是错误的。要当成“圆台”才行。
要按圆台侧面积积分才行，所以要换成弧元sqrt(dx^2+dy^2)
或sqrt(1+y'^2) dx。下面有微元的推导，包括体积。
把微元面积当圆台处理。圆台的侧面积公式=（上周长+下周长）/2 X 母线长，这母线长就是弧元长ds。得来全不费功夫，总是找到理论根据了哈。下面是正式的圆台公式：
圆台侧面积 s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
圆台的体积 v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
截面近似圆台的上半径r1=y+dy，下半径 r2=y, 高h=dx
表面积微元 dS=π(y+y+dy)√(dx^2+dy^2)=π(2y+dy)√(dx^2+dy^2)
体积的微元 dV=πdx/3(y^2+y(y+dy)+(y+dy)^2) =π/3(3y^2+3ydy+dy^2)dx
舍掉二阶无穷小项，有：
体积 dV=πy^2 dx，表面积 dS=2πy √(dx^2+dy^2）=2πy√(1+y'^2) dx
有了微元式子再求定积分，这就正确了。
别小看微元，虽是无穷小，一旦你确定出错误，积分就会引出大错误。