共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。
证明：
1、充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。
2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。
3、唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
扩展资料：
向量的记法：
印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 [1] 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
参考资料来源：百度百科——共线向量基本定理
两个向量共线是指表示它们的有向线段互相平行，
通俗的说就是同向或反向的向量叫共线向量，又叫平行向量。
有一个特殊情况，就是规定：零向量可以与任何向量共线。
定理：向量 a、b (b≠0) 共线的充要条件是存在实数 λ 使 a = λb 。
所以，要证明两个向量共线，只须证明它们之间有一个倍数关系即可。
例：已知 e1、e2 是不共线的单位向量，向量 a = e1+2e2，b = -2e1+e2，
c = 4e1+3e2 ，求证明：a 与 b+c 共线。
证明：因为 b+c = (-2e1+e2)+(4e1+3e2) = 2e1+4e2 = 2(e1+2e2) = 2a ，
所以 a 与 b+c 共线 。
3点共线：首先证明他们是平行向量，然后证明，一向量的终点与另一向量的起点相同，或者起点与起点相同，终点与终点相同，…就可以证明了。4点共面：证明两个向量是平行向量（且不共线）就可以说明4点共面。
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