解决此题需要掌握的知识点:
a. 熟悉三角函数的性质。
b. 导数的性质。
c. 识记三角函数求导公式。
解答: 依据题意有点(X,0)在曲线y=sinx 上。
令y=0 即是y=sinx=0,
解得:x=nπ (n为整数)
因为 y'= (sinx)'= cosx
所以在点(X,0) 处的导数为cosnπ
设点(X,0)处切线方程为y=kx+b,法线方程为y0=k0x+b0.
即有:当n=2m cosnπ=1 (m∈Z)
故点(X,0)处切线斜率K=1,法线斜率K0=-1/K=-1
依题意代入点(X,0)至切线方程有:0=2mπ+b,解得:b=-2mπ.
依题意代入点(X,0) 至法线方程有:0=-2mπ+b,解得:b=2mπ
故切线方程为:y=x-2mπ
法线方程为: y=-x+2mπ ①
当n=2m+1 cosnπ=-1 (m∈Z)
故点(X,0)处切线斜率K=-1,法线斜率K0=-1/K=1
同理解得:b=(2m+1)π b0=-(2m+1)π
故切线方程为: y=-x+(2m+1)
法线方程为: y=x-(2m+1)π ②
综合①②试可得:
当n为偶数时,切线方程为:y=x-nπ, 法线方程为:y=-x+nπ
当n为奇数时,切线方程为:y=-x+nπ,法线方程为:y=x-nπ.
纯手工辛苦敲上去的,求给分。
y'=cosx 点(X,0)处,sinX=0,则X=kπ k=.....-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....
当k=....-4,-2,0,2,4,....(偶数)时,cosX=1
切线方程 y=x-X
法线方程 y=-x+X
当k=....-3,-1,1,3,....(奇数)时,cosX=-1
切线方程 y=-x+X
法线方程 y=x-X