51问答网 > 已知b+c⼀a=a+c⼀b+a+b⼀c,求abc⼀(a+b)(b+c)(a+c)

已知b+c⼀a=a+c⼀b+a+b⼀c,求abc⼀(a+b)(b+c)(a+c)

2024-12-13 12:33:03

推荐回答（2个）

回答1：

设 b+c/a=c+a/b=a+b/c=K
则b+c=aK¨¨¨¨¨(1)
c+a=bK¨¨¨¨¨(2)
a+b=cK¨¨¨¨¨(3)
(1)+(2)+(3)
（b+c）+（c+a）+（a+b）=K(a+b+c)
2（a+b+c)=K（a+b+c)
K（a+b+c)-2（a+b+c)=0
（K-2)（a+b+c）=0
解得 K=2 或a+b+c=0
当K=2时， abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc／（2c×2a×2b）=1／8
当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc/[(-c)×（-a)×(-b)]=-1
∴原式有两个解：1／8或 -1

回答2：

b+c／a=a+c／b=a+b／c=k
b+c=ak
a+c=bk
a+b=ck
以上3式相加得
2(a+b+c)=(a+b+c)k
2(a+b+c)-(a+b+c)k=0
(2-k)(a+b+c)=0
当a+b+c≠0时，k=2
当a+b+c=0时，k为任意实数