两道初中奥数题

1、原式除以x－1后的余式次数一定比x－1要低，即为常数，设原式除以x－1后的商式为P(x)，余式为a，则：
x^2005＋x^2001＋x^1997＋...＋x^5＋x＝P(x)·(x－1)＋a
上式对于x为任何实数都成立
令x＝1即得：a＝502
从而余式为502

2、x^5＋2x^4＋3x^3＋4x^2－87x＋1
＝(x^5＋x^4－8x^3)＋x^4＋11x^3＋4x^2－87x＋1
＝x^4＋11x^3＋4x^2－87x＋1
＝(x^4＋x^3－8x^2)＋10x^3＋12x^2－87x＋1
＝10x^3＋12x^2－87x＋1
＝(10x^3＋10x^2－80x)＋2x^2－7x＋1
＝2x^2＋2x－16－9x＋17
＝－9x＋17
解x^2＋x－8＝0可得该方程的两个解，再代入上式计算得最后结果，不好输入，此处从略

答案：
1. 402
2. （25+9倍根号33）/2或（25-9倍根号33）/2

解答：

1.
由于x-1是关于x的一次式，所以任意整数多项式除以它的余式都为一个整数，设为K；即x^2005+x^2001+x^1997+…+x^5+x=（某个整数多项式）×（x-1)+K，显然（某个整数多项式）×（x-1)在x=1时为0，所以K=1^2005+1^2001+...+1^5+1=402.

2.
首先x^5+2x^4+3x^3+4x^2-87x+1=（x^2+x-8）（x^3+x^2+10x+2)-9x+17,而x^2+x-8=0，所以x^5+2x^4+3x^3+4x^2-87x+1=-9x+17；另一方面x^2+x-8，得到x1=（-1+根号33）/2，x2=（-1-根号33）/2,所以=-9x+17=（25+9倍根号33）/2或（25-9倍根号33）/2

1题X-1=2007
2题值=0