条件收敛还是绝对收敛？

首先, 这些级数都是收敛的. 前3个都是通项绝对值单调递减并趋于0的交错级数, 适用Leibniz判别法. 第4个要用Dirichlet判别法: 1/n单调递减趋于0, 而(-1)^n·sin(n)部分和有界. (积化和差证明: sin(m)+sin(m+2)+...+sin(m+2k) = (cos(m-1)-cos(m+2k+1))/(2sin(1))). 要判别是否绝对收敛, 即考虑通项取绝对值后的级数敛散性. 1) 2n/(4n2+1)与1/n是同阶无穷小(二者比值趋于1/2). 根据(正项级数)比较判别法, 由∑1/n发散知∑2n/(4n2+1)也发散. 故∑(-1)^n·2n/(4n2+1)为条件收敛. 2) sin(π/n)与1/n是同阶无穷小(二者比值趋于π). 根据(正项级数)比较判别法, 由∑1/n发散知∑sin(π/n)也发散. 故∑(-1)^n·sin(π/n)为条件收敛. 3) 1/(4n2+1)与1/n2是同阶无穷小(二者比值趋于1/4). 根据(正项级数)比较判别法, 由∑1/n2收敛知∑1/(4n2+1)也收敛. 故∑(-1)^(n+1)/(4n2+1)绝对收敛. 4) |sin(n)|/n ≥ sin2(n)/n = (1-cos(2n))/(2n). 由Dirichlet判别法可证明∑cos(2n)/(2n)收敛 (cos(2n)部分和有界, 细节略). 而∑1/(2n)发散, 于是二者之差∑(1-cos(2n))/(2n)发散. 根据(正项级数)比较判别法, ∑|sin(n)|/n也发散. 故∑(-1)^n·sin(n)/n为条件收敛.