如何证明1+1=2（用数学原理回答）？

证明：
1+1=2
数学科洪士薰老师
1.
先了解peano
公设：所谓自然数,就是满足下列条件,
1.一集合N
中,有元素n,及后续元素n+,n+与n
对应.
2.元素e
必定属于N
中.
3.元素e
在N
中不为任一元素的后续元素.
4.N
中的元素,a+=b+则a=b.(元素唯一)
5.(归纳公设)S
为N
的子集,e
属于S,n
属于S,n+也属于S.那么S=N.
N
就是我们说的自然数集合.
其中我们规定e:=1,
e+:=2,
(e+)+:=3,.....以此类推.
2.
再来定义加法,
加法(+)为一函数，这函数满足两个条件
1.(+)(n,e)=n+
写成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+
2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+
2.n(+)m+=(n(+)m)+
满足上面条件的函数(+),我们称为加法+.(+):=+
满足这两条件的函数是可以证明存在且唯一：证明如下
因为(+)(e,e)=e+
e(+)e=e+
所以1+1=2
得证.
存在：
e,
e+
,(e+)+,……
即所有自然数
唯一：
n
N
"
Î
，
+(n,e)=n+
+(n,e+)=(+(n,e))+
+(n,e+)+)=………
故(+)存在且唯一
上述证明翻成白话文如下：
自然数系依加法运算分别是：1，1+，(1+)+，……。而这些1+，（1+）+，…就用符号2，3，…
表示，所以1
+
1指的是1後面那一个数字，也就是1+，自然就是2。
为什麼会有Peano
公设，及定义加法，这起源於十九世纪末，二十世纪初，Hibert，Brouwer，
因物理上狭义相对论，及量子论推翻了物理旧基础，而数学家们因此想证明，数学是有坚固基础，
是不变的真理。所以希望能从逻辑上建立一个完整、严密的基础，於是第一个当然针对自然数系开
始，希望能像欧氏几何一样，从基本公设，经由逻辑就可以得到完整的自然数系性质，所以归结出
Peano
五个公设（其实後人把它进一步归结成三个），而罗素与他的老师怀海德合写<<数学原理>>
三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert
拟了一连串计画要把数学的基础转化成逻辑，这样一来，
数学家就可以宣称「数学是真理」。不幸的是，1929年Godel
23岁时证明了一个定理：
不完全性定理：
如果有一个系统包含算术，而且这一系统的基本假设并不会互相矛盾，那麼这个系统中
一定存在一个命题，这一个命题的肯定或否定都无法证明。
所以数学并不只是逻辑。当然「1
+
1
=
2」的证明是否很有意义，可以从Godel的定理来看看。
不管如何，亚里斯多德说：「知识始於惊奇」，

1+1=2,从纯粹不附加任何条件来看的..要说为什么..

首先，这两个1是不一样的..

第一，第一个1是单位元..（抽象点说，对于运算+和*来说，0和1分别是它们的单位元，因为加0和乘1是不改变数的..更加抽象地说，“+”和“*”都可以看成某一种运算，不针对1+1=2和1*2=2这里的意义..）

第二，整数关于+和*构成一个环，就是说，除了除法（乘法的逆运算）不考虑外，整数加，减，乘还是整数..

第三，1不是+的单位元，考虑+1这个东西..（上面都是为了说明0，1的地位，但是0，1都只是符号，你硬要说我用随便一个符号代替0，1都可以..）

然后，根据peano公理，我们这么定义自然数集合n（不考虑0）：

1）1∈n
2）对任意a∈n，定义一个后继函数φ（n）=n+1，有φ（n）∈n；

然后递推出自然数..至于为什么是2，因为我喜欢这个符号..1，2，3，4，5，6，7，8，9，0都是符号..

这个定义在我们所考虑的数的体系里是相容的，所以无法推翻它..也无法证明..

如果你看了数学史，你就知道公理什么的地位了..

1+1等于几？所有人都会脱口而出说是2；但是在科学的世界里，还真的存在1+1小于2的情况呢；今天爆爆就用一个科学实验，教你证明1+1不等于2。