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设a,b,c是不全等的任意实数。若X=a^2-bc,y=b^2-ca,z=c^2-ab，求证：x,y,z中至少有一个大于零

2025-02-26 14:46:17

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回答1：

X=a^2-bc,y=b^2-ca,z=c^2-ab
x+y+z=a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)
=2[a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)]/2
=[2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+ac+bc)]/2
=[2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+ac+bc)]/2
=[a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2]/2
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2>=0
当且仅当a=b=c,x+y+z=0
因为a,b,c是不全等的任意实数
所以x,y,z中至少有一个大于零