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证明：1^3+2^3+3^3+……+n^3=（1+2+3+……+n)^2

不用数学归纳法可以吗？

2024-12-17 08:38:33

推荐回答（4个）

回答1：

一般方法可以证明但是相当繁琐
证明如下(n+1)^4-n^4==4n^3+6n^2+4n+1 ∴n^3==(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边==∑i^3==(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2==(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)==(1/4)(n^4+2n^3+n^2)==[(1/2)n(n+1)]^2==(1+2+3+…+n)^2
附注:这里用了另一个公式∑i^2==(1/6)n(n+1)(2n+1)
证明如下:(n+1)^3-n^3==3n^2+3n+1 ∴n^2==(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3
∴∑i^2==(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3==...==(1/6)n(n+1)(2n+1)

回答2：

数学归纳法啊
K=1时相等
假设K=N时相等
带入K=N+1时看看了

回答3：

用数学归纳法证明。
不用数学归纳法不可以。

回答4：

用数学归纳法证明