由题意知y''=1+(y')^2
令y'=p,则y''=p'=dp/dx
于是原方程可以写成：p'=1+p^2,
所以dp/(1+p^2)=dx
对等式两端同时积分得到：arctan p=x+c1（c1为常数）
即p=tan(x+c1),y'=tan(x+c1),
所以dy=tan(x+c1) dx,
再对等式两端同时积分得到微分方程的通解为：
y= -ln |cos(x+c1)|+c2 （c1、c2均为常数）
因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）
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