用数学归纳法证明斐波那契数列公式

假设对小或等于n的自然数k，a（k）={[(1＋sqrt(5))/2]^k － [(1－sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)都成立，当n=k+1时，就有

a（k+1）=a（k）+a（k-1）

={[(1＋sqrt(5))/2]^k － [(1－sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)+{[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1） － [(1－sqrt(5))/2]^（k-1 ）}/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（3+sqrt（5））/2] － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)）[（3-sqrt（5））/2] }/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（6+2sqrt（5））/4] － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)）[（6-2sqrt（5））/4] }/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（1+sqrt（5））/2] ^2 － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)[（1-sqrt（5））/2] ^2}/sqrt(5)

={[(1＋sqrt(5))/2]^（k+1）－ [(1－sqrt(5))/2]^(k+1)}/sqrt(5)

这就说明公式对n=k+1也成立。

扩展资料：

数学归纳法证明解题要点

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

1、证明当n= 1时命题成立。

2、假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步验证n取第一个自然数时成立，之后假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。最后总结表述。