51问答网 > 在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a,b,c.已知cosA=4⼀5，b=5c，求sin（2A+C）的值

在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a,b,c.已知cosA=4⼀5，b=5c，求sin（2A+C）的值

2025-03-10 01:13:52

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回答1：

根据余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA=25c^2+c^2-10c^2*4/5=18c^2
a=3√2c
假设c=1，则a=3√2,b=5
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(18+25-1)/30√2=7/10*√2
因为(sinA)^2+(cosA)^2=1所以sinA=√(1-16/25)=3/5
根据正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=1/10*√2
得到sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=2sinAcosAcosC+[2(cosA)^2-1]sinC
=2*3/5*4/5*7/10*√2+(32/25-1)*1/10*√2=7/10*√2