高分求练习题

2006年高考中的二次函数问题聚焦

衡南县第五中学 周厚忠

二次函数、二次方程、二次不等式之间的一一对应关系，使它们之间网络交汇，形成一种互为工具，优势互补，为应用二次函数简化解决综合问题提供了方法和依据，也成为06年高考数学命题的亮丽的风景线.
1创造使用条件确定二次函数的表达式
(重庆) 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x..
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0¬)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
思维展示
（Ⅰ） 认识对应法则和符合函数的意义，目标意识创造使用条件，特殊赋值切入，
因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；
赋值，若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）认识对应法则的唯一性切入，
因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
由题设有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.，所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)= x0，所以x0- x =0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛盾，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为 f(x)= x2 –x+1（x R）.
【学习体验】
如何创造使用对应法则？
认识对应法则f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.即f(x0)= x0 的意义，选用目标意识特殊赋值和反证法确定，其中整体变量的观念起着决定性的作用。
2二次函数在区间上的最值问题
（福建 ）已知函数
（I）求 在区间 上的最大值
（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。
【思维展示】
（I）配方研究区间和对成轴的位置关系切入，
当 即 时， 在 上单调递增，
当 即 时，
当 时， 在 上单调递减，
综上，
（II）注意定义域化归方程根的分布问题切入， 函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。借助导数解决。

当 时， 是增函数；当 时， 是减函数；
当 时， 是增函数；当 或 时，

当 充分接近0时， 当 充分大时，
要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即 所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点， 的取值范围为
【学习体验】
本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。
3 二次函数与不等式及方程之间的对应关系
（浙江）设 ， ,f(0)f(1)＞0，
求证：(Ⅰ)方程 有实根。(Ⅱ) -2＜ ＜-1；（III）设 是方程f(x)=0的两个实根，则. ．
【思维展示】
从最高项系数分类切入，
（Ⅰ）若 a = 0, 则 b = －c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) ，与已知矛盾，
所以 a ≠ 0. 方程 = 0 的判别式 由条件 a + b + c = 0，
消去 b，得 ，故方程 f (x) = 0 有实根.
（Ⅱ）函数值构建不等式切入， （III）根与系数关系和系列问题上面的结论使用，
, ,所以 因为 所以 ， 故 ．
【学习体验】
本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。范围问题是个不等关系，借助题设条件构建不等式解出范围，这是不等式的一个重要应用，试结合本题好好领悟。
4 换元法化归二次在区间上问题分类求解
（江苏 ）设a为实数，设函数 的最大值为g(a)。（Ⅰ）设t＝ ，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（Ⅱ）求g(a)；（Ⅲ）试求满足 的所有实数a
【思维展示】
（Ⅰ）认识函数的实质，由确定定义域切入， 要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1, ∴ t≥0 ① 则 t的取值范围是
由①得 ，整体变量换元沟通关系，∴m(t)=a( )+t=
（2）由题意知g(a)即为函数 的最大值。
注意到直线 是抛物线 的对称轴，从最高项系数入手，两级分类讨论。
（1）当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由 <0知m(t)在 上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2) 当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3) 当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若 ，即 则
若 ，即 则
若 ，即 则
综上有
(3)分类构建方程验证求解
情形1：当 时 ，此时 ， 由 ，与a<-2矛盾；
情形2：当 时，此时 ， 解得， 与 矛盾；
情形3：当 时，此时 所以
情形4：当 时， ，此时 ， 矛盾。
情形5：当 时， ，此时g(a)=a+2, ，由 解得 矛盾。
情形6：当a>0时， ，此时g(a)=a+2, 由 ，由a>0得a=1.
综上知，满足 的所有实数a为 或a=1。
【学习体验】
研究函数让定义域先行往往能寻求到思维的切入点，本题认识函数揭示的两变量的唯一对应关系，求定义域对应法则条件下平方，换元沟通关系，将问题化归二次函数在区间上的最值研究和构建方程待定参数，这些都是高考命题的热点，应深入研究，不断提高应用函数解决问题的能力。
最高项系数含参数时采用两级分类的方法，第一级系数为0和不为零，不为0再分两类，在这两类下都化归为二次二次在区间上的问题，研究对称轴和区间的关系分3类研究，应学会这种思维方法，对于复杂的问题的研究达到“既不重复又不遗漏”使“分类完备”。
本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，你体会到了吗？