用反证法。若不然，则对任意实数m>0,总存在实数Xm>a,使得|f(Xm)|>m.可令m=1,2,3,...,则得一无穷数列{Xm}.(Xm>a).且有|f(Xm)|>m.(1)若数列{Xm}有界，则由维尔斯特拉斯定理知，数列{Xm}必有一子列{X"n}存在极限，可设limX"n=k,(n--->+∞,且k≥a).由题设，函数f(x)在点k处连续，必在包含点k的一个小区间内有界，且limf(x)=f(k).(x-->k).===>limf(X"n)=f(k).但由假设知，|f(X"n)|--->+∞,矛盾。（2）若数列{Xm}无界，则必有一子列{X"n},limX"n=+∞.且lim|f(X"n)|=+∞.这与limf(x)=A矛盾。原命题得证。
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