隐函数求导不明白求高人指点

解答：
楼上两位的解答，都是对的，下面分析分析楼主求解时出现的问题。

1、这个方程是一个隐函数方程(Implicit Equation)的求导问题。
隐函数通常有两种情况：
一是根本无法解出y, 如 x + y = sin y
二是没有必要解出y, 如本题。因为解出后，y有正负号问题，更复杂。

2、对于隐函数的求导，用复合函数(Composite Function)的链式求导(Chain Rule)：
df/dx = (df/du)(du/dv)(dv/dw)(dw/dx)

3、对于本题，只要记住，这里的y是隐性定义为x的函数，既然y是x的函数，
整个方程 3xy = x² + y² + 1 的两侧就也都是x的函数，两侧同时对x求导，
得：dy/dx = =(3y-2x)/(2y-3x)|(x=1,y=2) = 4

4、楼主试图将 x² + y² - 3xy + 1 = 0 当成一个二元函数 u(x,y) = c，
对y微分，也对于x微分，然后将它们相除，得到dy/dx。
相除的想法本身，没有错，这就是导数的思想，因此导数也叫微商。

5、现在的问题是 dy 与 (∂u/∂y)dy 是否相等？dx 与 (∂u/∂x)dx 是否相等？
这里是概念乱了，其实 ∂x 就是 dx, ∂y 就是 dy，只是因为现在u(x,y)是
二元函数，u对x的导数是偏导数∂u/∂x，而不是全导数du/dx；同样，u对y
的导数是偏导数∂u/∂y，而不是全导数du/dy。全导数概念一般不讲，很多
人以为没有全导数的概念，其实在任何方向上求导，称为方向导数；而在空
间变化率最大的方向求导，我们称为梯度。梯度的意思就是全导的意思，因
为一般人不习惯，所以我们平时只讲全微分与偏导数的概念。
全导数的英文是：Total differentiation.

就本题而言，(∂u/∂y)dy 在意义上是 du 而不是 dy, (∂u/∂x)dx 在意义上
也是 du 而不是 dx。所以 dy/dx ≠ [(∂u/∂y)dy]/[(∂u/∂x)dx]

结论：楼主可能是什么书上的引用错误造成。错误不再于引用的u有必要还是无
必要，也不在于相除可以不可以，而在于[(∂u/∂y)dy]/[(∂u/∂x)dx]的意
义理解错了。

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x²+y²+1-3xy=0
对x求导
2x+2y(dy/dx)-3y-3x(dy/dx)=0
（2y-3x)(dy/dx)=3y-2x
dy/dx=(3y-2x)/(2y-3x)=4