为什么输入信号f(t）通过系统造成的响应可以表示为f（t)与系统单位冲激响应h（t）的卷积

输入信号f(t)可以分解为无限个不同时刻的单位冲激函数放大f(t)倍组成，若一个时刻对系统输入的信号为f(t)•单位冲击函数的信号，那么系统响应为单位冲激响应乘以f(t)（线性系统信号放大f(t)倍，响应也放大f(t)倍，冲击函数延迟t,冲击响应也延迟t)）因此这一段时间内系统的响应可以想象成，这段时间系统内对无数的冲激函数的冲激响应的叠加（线性系统性质），从卷积公式看s f(n)h(t-n)dn 看，（f代表输入信号，h为系统响应），f(n)h(t-n)为n 点信号f(n)对系统造成的冲激响应，其中乘以f(n)代表单位冲激响h(t-n)应放大倍数，这些响应叠加,就成了输出响应了。

因为线性系统对响应是可以叠加的，f(t)可以想象成无限个不同时刻冲激信号合成的，只要有求出了一个时刻的冲击响应h(t)那么，然后f(t)分解成的每个单位冲击函数产生的h(t)（此时产生的h(t)位置和幅度会有不同，例如f(0)时刻冲击产生系统响应h(t)，那么f(3)时刻冲击函数为f(3)/f(1)h(t-3),）只要将这些无数个冲击响应叠加，就成了系统对f(t)的响应了，卷积求的就是这些响应的叠加。

如果你公式里的u(t)代表输入，y(t)代表输出的话，哦，那就明白了。既然是LTI系统，满足叠加性，则输入f(t) =?雝) +??nbsp;t??nbsp;1), 输出 y(t) = u(t) - u(t-1)输入f(t) = ?雝), 输出 y(t) = h(t)则满足关系式： h(t-1) + h(t) = u(t) - u(t-1)假设h(t)的形式为h(t) = a0*u(t) + a1*u(t+1) + a2*u(t+2) + ... （从t开始是因为需要满足因果性）则h(t-1) = a0*u(t-1) + a1*u(t) + a2*u(t+1) + ... 则h(t-1) + h(t) = a0*u(t-1) + (a0+a1)*u(t) + (a1+a2)*u(t+1) + ...ai，i = 0, 1, 2, ...需要满足a0 = -1a0 + a1 = 1a1 + a2 = 0....故解得 a0 = -1, a1 = 2, a2 = -2, a3 = 2, ....h(t)的波形见附件