已知x>y>0,xy=1,求x^2+y^2⼀x-y的最小值。

如题，要详细过程。

2024-12-04 04:37:58

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回答1：

(x^2+y^2)/(x-y)
=[(x-y)^2+2xy]/(x-y)
∵xy=1,
∴(x^2+y^2)/(x-y)
=[(x-y)^2+2]/(x-y)
=(x-y)+2/(x-y)
∵x>y>0
∴x-y>0
∴根据基本不等式:
(x-y)+2/(x-y)
>=2√[(x-y)*2/(x-y)]
=2√2
当且仅当x-y=2/(x-y),即:x-y=√2时等号成立
∵x-y=√2，xy=1,
解得：
x=(√6+√2)/2
Y=(√6-√2)/2

综上所述，
∴(x^2+y^2)/(x-y)的最小值为2√2
当且仅当x=(√6+√2)/2,Y=(√6-√2)/2时成立

回答2：

(x^2+y^2+2-2)/x-y=(x^2+y^2-2xy+2)=[(x-y)^2+2]/x-y=(x-y)+2/x-y>=2^(1/2)