急！数学在生活中的应用

数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，“在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）。“在BC3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展”，而“在BC600—BC300年间古希腊学者登场后”，数学便开始“作为一名有组织的、独立的和理性的学科”（引自《古今数学思想》第一册P1——作者注）登上了人类发展史的大舞台。
如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解Rt三角形有关知识的应用。由于这些内容所涉及的高中数学知识不是很多，在此就不赘述了。
由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。
下面，我就紧扣高中数学学习的实际，从函数、不等式、数列、立体几何和解析几何等五方面，简明扼要地谈一下数学知识在生产生活中的应用。
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第一部分 函数的应用
我们所学过的函数有：一元一次函数、一元二次函数、分式函数、无理函数、幂、指、对数函数及分段函数等八种。这些函数从不同角度反映了自然界中变量与变量间的依存关系，因此代数中的函数知识是与生产实践及生活实际密切相关的。这里重点讲前两类函数的应用。
一元一次函数的应用
一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。
例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。
下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。
随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。
我在纸上写道：
设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则
用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;
用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.
接着比较y1y2的相对大小.
设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.
然后便要进行讨论：
当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;
当d=0时，x=24;
当d<0时，x<24.
综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.
可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！
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二、一元二次函数的应用
在企业进行诸如建筑、饲养、造林绿化、产品制造及其他大规模生产时，
其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示。企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景。他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题。常用方法有：求函数最值、某单调区间上最值及某自变量对应的函数值。

三、三角函数的应用
三角函数的应用极其广泛，这里仅讲最简的也是最常见的一类——锐角三角函数的应用：“山林绿化”问题。
在山林绿化中， 须在山坡上等距离植树，且山坡上两树之间的距离投影到平地上须同平地树木间距保持一致。（如左图）因此，林业人员在植树前，要计算出山坡上两树之间的距离。这便要用到锐角三角函数的知识。
如右图，令C=90 ,B=α ,平地距为d，山坡距为r，则secα=secB =AB/CB=r/d. ∴r=secα×d这个问题至此便迎刃而解了。
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第二部分 不等式的应用
日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。
在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）
实践活动 已知条件 最优方案 解决办法
设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一
经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二
车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出
速度、各项费用及相应 最低成本，再由此
比例关系 计算出最低票价
（票价=最低票价+ +平均利润）
包装罐设计 （见表后） （见表后） （见表后）

包装罐设计问题
1、“白猫”洗衣粉桶
“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），
若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是
什么关系时用料最省（即表面积最小）？
分析：容积一定=>лr h=V（定值）
=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)
≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号),
∴应设计为h=d的等边圆柱体.
2、“易拉罐”问题
圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底
厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最
省（即表面积最小）？
分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己
写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.

事实上，不等式特别是均值不等式在生产实践中的应用远不止这些，在这里就不一一列举了。
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第三部分 数列的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
本文重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。

（二）有关数列的其他应用问题
数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。读者朋友一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。下面请看北京市西城区2003年抽样测试-高二数学试卷中的一道应用问题。

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数学生活化　生活数学化

长泰县陈巷中心小学教研组　薛支祥

　　新的课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。因此，在数学教学中应重视学生的生活体验，把数学教学与学生的生活体验相联系，把数学问题与生活情境相结合，让数学生活化，生活数学化。
　　一、创设生活情景，激发探索欲望
　　在数学教学中可根据学生的年龄特点和生活体验，科学、有效地创造生活情景，让学生在熟悉的数学生活情景中愉快地探究问题，找到解决问题的规律。如在教学“角”的概念时，我们可借助同学们都熟悉的钟表、墙角、张开的圆规等生活题材，启发学生在熟悉的生活情景中自主地提出数学问题：角有几个顶点？什么叫做角的边？角有几种……让学生体验自己生活中存在的数学，加深理解教材所学的内容，从而培养学生从实际生活中提出数学问题并加以解决的能力。
　　二、感受生活数学，让数学生活化
　　数学来源于生活，新教材更体现这一点。在数学课堂教学中，教师应有意识而且有必要地还原数学知识的生活背景，把书本上的知识放在生活中来学习，让数学问题生活化。在教学“线段”时可设计这样的一个问题：将弯曲的道路改道，怎样做才能得到最短的道路。利用学生日常生活中经常遇到的问题激发学生探索问题的兴趣，从而总结成公理：两点之间，线段最短。
　　三、探究生活问题，让生活数学化
　　在数学教学中，把数学知识与生活、学习、活动有机地结合起来，通过收集资料、动手操作、合作讨论等活动，让学生真正感受到数学在生活中无处不在，获得探索数学的体验，提高利用数学解决实际问题的能力，让生活数学化。如，我们可指导学生以小组合作为形式制作长方体形状的包装纸盒，利用已学过的长方体的表面展开图的知识，美术知识、语言知识、生产常识对长方体和它的表面进行探究。以此激发了学生探索的欲望，并通过小组合作自我解决问题，提高了自己运用知识解决实际问题的能力，切实体会数学与生活的密切联系，从而激发学生热爱数学，建立学好数学的信心。
　　因此，数学教学应该将课堂与生活紧密联系起来，体现数学来源于生活，寓于生活，用于生活，引导学生把数学知识运用到学生的生活实际中去体验感受，使学生充分认识到数学来源于生活又是解决生活问题的基本工具，达到数学课堂教学生活化的目的。
数学在生活中的应用

研究性学习结题报告

题目：数学在生活中的应用

指导老师：明建军

小组成员： 第一组 第二组
张 影 朱旭慧
陈小琳 姚美玲
史徐俊 凌伟忠
王芳芳 翁小慧

结题日期：2003年6月

开题报告
传统的数学教学思想，认为数学是一个已经有的、现成的数学体系，教学时只需把教学内容作为一个“现成的产品”来分析就可以了，学生的作业是对例题的模仿，当前中国的数学教育的缺点之一是比较脱离人们的生活实际〈 1 〉，这样的教学效果，常常会使学生感到数学太严肃、抽象，太枯燥无味。陶行知先生在论述“生活即教育”理论内质时有一段精辟的见解“‘生活即教育'是叫教育从书本到人生的，从狭隘的到广阔的，从字面的到手脑相长的，从耳目的到身心全顾的，从效力上说：‘教育要通过生活才能发出力量而成为真正的教育'”。
数学是生活中的一分子，它是在生活这个集体中生存的，离开了生活这个集体，数学将是一片死海，没有生活的数学将是没有魅力的数学。因而毫无疑问的应当“让学生在生活中学数学”。重研陶行知先生的“生活教育”理论，质朴的语言，深邃的思想，对我们当前的小学数学课程改革，培养具有创新精神和实践能力的复合型人才，具有十分重要的指导意义。
结合陶先生的“生活即教育”思想，我们也在这一方面做了一些“数学教学生活化”的探索和实践，我们认为：单纯以教材为凭借照本宣科的教学往往会远离学生的生活经验和生活实际，给学生的理解造成很大困难，会脱离现实的客观存在，使学生体会不到学习的价值，使学生在被动的状态下学习。教师应有意识地捕捉生活中的数学现象，联系学生生活中的问题，挖掘数学知识的生活内涵，让数学更多地联系实际，贴近生活，达到生活材料数学化，数学教学生活化，将数学与学生的生活、学习联系起来，学习有活力、活生生的数学。

活动记录

2002年10月～2003年4月
2002年10月和组员第一次见面，介绍一下我们要研究的课题，让学生自我介绍一下，说说数学在生活中的一些应用。

1．将小组人员按照不同的范围分为两个小组，分别为
第一小组：代数在生活中的应用。
第一次让学生自我介绍，谈谈自己对数学在生活中的应用的了解。
第二次让学生查资料，进一步了解数学在生活中的应用。
第三次让学生研究代数在黎里公园建设中的应用。

2003年5月10日以论文的形式成文

第二小组：几何在数学中的应用。
第一次让学生自我介绍，谈谈自己对数学在生活中的应用的了解
第二次让学生查资料，进一步了解数学在生活中的应用。
第三次让学生研究几何在黎里公园建设中的应用。

2003年5月10日以论文的形式成文

2003年4月～2003年5月
1． 访谈记录
2． 分析数学在生活中的应用。
2003年5月～6月

准备结题

访谈记录
访问对象：张世民（常熟外国语学校数学教师）

访问时间：2003年4月

访问方式：EMAIL

内容实录：
谈谈数学在生活中的应用。

一、 走进生活，用数学眼光去观察和认识周围的事物：
世界之大，无处不有数学的重要贡献。培养学生的数学意识以及运用数学知识解决实际问题的能力，既是数学教学目标之一，又是提高学生数学素质的需要。在教学中，要使学生接触实际，了解生活，明白生活中充满了数学，数学就在你自己的身边。
例如在“比例的意义和基本性质”的导入中，我设计了这样一段：你们知道在我们人体上的许多有趣的比例吗？将拳头翻滚一周，它的长度与脚底长度的比大约是1：1，脚底长与身高长的比大约是1：7……知道这些有趣的比有很多用处，到商店买袜子，只要将袜子在你的拳头上绕一周，就会知道这双袜子是否合适你穿；如果你是一个侦探，只要发现罪犯的脚印，就可以估计出罪犯的身高……这些都是用身体的比组成了一个个有趣的比例，今天我们就来研究“比例的意义和基本性质”；
此外教师还可结合学生年龄特点，设计一些“调查” 、“体验” 、“操作”等实践性强的作业，让学生在活动中巩固所学知识，提高各方面的能力：如教学“单价、数量、总价”三者关系应用题前可布置学生做一回小小调查员，完成下列表格：
品 名 黄瓜 白菜 萝卜 猪肉
单 价（元）
数量（千克）
总 价（元）

这样做，使学生对所学知识有了感性认识，减缓他们在学习上坡度，对他们深刻理解单价、数量、总价三者之间的关系有很大帮助。再如学习了三角形的稳定性后，可让学生观察生活中哪些地方运用了三角形的稳定性；学习了圆的知识后，让学生从数学的角度说明为什么车轮的形状是圆的，三角形的行不行？还可以让学生想办法找出锅盖、脸盆的圆心在哪儿；……这样大大丰富了学生所学的知识，让学生真正认识到周围处处有数学，数学就在我们生活中间，并不神秘，同时也在不知不觉中感悟数学的真谛，进而激起从小爱数学、学数学、用数学的情感，促进学生的思维向科学的思维方式发展，培养学生自觉地把所学的知识应用于实际生活的意识。

二、 感悟生活，架构数学与生活的桥梁：
“人人学有用的数学，有用的数学应当为人人所学”成了数学教学改革实验的口号。教学中我联系生活实际，拉近学生与数学知识之间的距离，用具体生动、形象可感的生活事例解释数学问题。
1、 运用生活经验解决数学问题
在上“用字母表示数”一课的内容时，我用CAI课件演示李蕾同学拾金不昧的情景，紧接着播出一则“失物招领启事”：
失 物 招 领
李蕾同学在校园升旗台附近拾到人民币A元，请失主前来少先队大队部认领。
校少先队大队部
2002.3
学生惊奇于数学课上老师怎么讲起了失物招领的事呢？我和学生通过分析、讨论A元所表示的意义，
师：A元可以是1元钱吗？ 生1：A元可以是1元钱，表示拾到1元钱。
师：A元可以是5元钱吗？ 生2：可以！表示拾到5元钱。
师：A元还可以是多少钱呢？生3：还可以是85元，表示拾到85元钱。
师：A元还可以是多少钱呢？生4：还可以是0.5元，表示拾到5角钱。……
师：那么A元可以是0元吗？生5：绝对不可以，如果是0元，那么这个失物招领启事就和大家开了一个大玩笑！
师：为什么不直接说出拾到多少元，而用A元表示呢？……
由于学生容易认识具体、确定的对象，而用字母表示的数是不确定的、可变的，因此开始学习学生往往难以理解。本题中的“失物招领启事”是学生所熟悉的活动，激发了学生学习新知的欲望，学生便能不由自主地参与到解题过程中去。在讨论交流中，集思广益，使学生在愉快的氛围理解了新知，并对所学的知识更理解，掌握地更牢固；另一方面也提高了人际交往能力，增强了相互帮助、合作的意识，受到良好的思想教育，也锻炼了学生对社会的洞察力。
2、 运用数学知识解决实际问题
例如学习了长方形、正方形面积的计算及组合图形的计算后，我尝试着让学生运用所学知识解决生活中的实际问题。如：老师家有一间两室一厅的住房，如图：你能帮帮他算一算这两室一厅的住的面积有多大？要计算面积有多大我们先要测量哪些长度的面积？在给出一定的数据后让学生们计算；接下来我还让学生们回家测算一下自己家的实际居住面积。在这样一个实际测算的过程中，既提高了兴趣，又培养了实际测量、计算的能力，让学生在生活中学、在生活中用。
如，学过了100以内加减法之后，创设了“买汽车”的教学情境：微型汽车大削价，小林花去100元买了几辆汽车，他买了几辆汽车，是哪几辆？
通过观察、思考、讨论，在我的鼓励指导下，同学们用式子有序地依次表示为：
（1）把100元分解为两个数的和： （2）把100元分解为3个数的和：
50+50=100 40+60=100 30+70=10020+80=100 60+20+20=10050+20+30=10040+40+20=10030+30+40=100
（3）把100元分解为4个数的和 （4）把100元分解为5个数的和 40+20+20+20=100
20+20+20+20+20=100 30+30+20+20=100

学生以发现者的心态去探索、去求新、去寻觅独创性的答案，这也正验证了苏霍姆林斯基所说的：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”这种图文并茂的应用题，使学生感到不是在解应用题，而是在解生活中的问题，锻炼了学生捕捉信息的能力，增强了应用题的应用味：漫画的形式更贴近于儿童的实际生活，学生从图中获得各种汽车价钱的信息，又从文字中获取“小林花去100元”的信息，由于问题具有现实意义，但又不能刻板地归为哪一种类型，要想解决“买了几辆汽车，是哪几辆？”的问题，联系生活实际，就能得到不同的解法。整个学习活动给学生提供了广阔的思维空间，让学生经历观察、分析、概括和归纳等学习过程。不仅巩固了100以内认识和加法，而且促进数学的交流，学生的分析、解决问题的能力得到培养，有利于因材施教，体现不同的人学习不同层次的数学，使学生感受到数学与生活的密切联系，体验到生活中处处有数学，感受数学的趣味与作用。

三、创造生活，解决生活中的数学问题
两步应用题之后的教学，我让学生“创作”应用题，学生们积极思考，发挥自己的想象力：“一份鸡翅8元，一个汉堡包比它贵4元，我吃了一份鸡翅和一个汉堡包，你们说我用了多少元？”；“我的妈妈上午买了一斤青菜，买的萝卜是青菜的两倍，请问我的妈妈一共买了几斤菜？；《西游记》有62集，《西游记续集》比它多5集，《西游记续集》有多少集？”学生们编应用题时眉飞色舞的神态，夸张的动作，幽默风趣的语言常常引起哄堂大笑。由于题材来自学生所熟知的事物，学生发言积极、语言流畅，思维呈多极化和多元化，得出“雪融化后是春天而不是水”的新思路，因创造而倍感兴奋，更体会到生活中处处有数学。
再如学习了“按比例分配” 的知识后，让学生帮助爸爸妈妈算一算本住宅楼每户应付的水费（电费）是多少；学习了“利息”的知识后，算一算自己在银行存储的钱到期后可以拿多少本息；再如学习完“比例尺”一节的知识后，让学生绘制 “我给未来的校园设计平面图”、“我给生活小区设计平面图”等等，其对图表内容的丰富和社会关注程度令人感叹！
生活是教育的中心，“生活即教育”的理论为小学数学教学的改革开辟了广袤的原野。“让学生在生活中学数学” 使学生对数学有一种亲近感，感到数学与生活同在，增强了学生学习数学的主动性，发展了求异思维，培养了学生理论联系实际的学风和勇于探究、大胆创新、不断进取的精神，让学生亲自体会参与应用所学知识去解决实际问题的乐趣。

学生文章

1．代数在生活中的应用。（第一组）
1、在生活中体验数学
数学对于儿童来讲是抽象的、陌生的，但生活对于儿童来讲则上形象的、熟悉的。对于三角形稳定性的特性在生活中的运用学生都较熟悉，如自行车的三角架、电线杆上的三角支点等，但是却没有上升到抽象的数学知识。本案例的教学将数学知识与生活实际相沟通，创设学习数学知识的生活情境，让学生在情境中学习数学知识，学生们体验到“数学就在我的身边、我就在数学之中”，自然而然的去喜欢数学、去研究抽象的数学，学生在形象的、熟悉的生活中的体验，提高了学生学习数学的积极性。教学紧密联系学生的学习生活实际，引导学生去思考，学生感到亲切、自然，会被吸引。在这样熟悉的日常生活中，学生经历了数学过程，体会到数学的实际价值，学习有用的数学，增强了学生对数学的兴趣和信心。
2、在实践与操作中体验数学
教师在教学过程中，把抽象的三角形特性的知识“物化”，使学生看得见摸得着，让学生在观察与操作实践中建立形象，形成表象，逐步掌握知识。在本课例中，通过学生操作让学生领悟了平形四边形易变形，而三角形较稳定的特性，把三角形的稳定性的知识“物化”在操作实践中，进行形象思维，帮助学生认识事物之间的现象和本质和它们之间的内在联系，然后抽象出三角形的特性，进行抽象的思维。真正放手让学生操作，从而体验到了数学的思维过程，同时也培养了学生的数学思维能力。实践操作成为培养学生创新意识的源泉，让新知在学生的操作中探索发现，让创新意识在学生的操作中萌发。
3、在运用中体验数学
荷兰数学教育家弗赖登搭尔从数学教育学的特点出发，提出了“数学源于现实，扎根于现实，应用于现实。”的教学原则，数学教学的最终目的是应用所学的数学知识来解决生活中的实际问题。本课从解决如何去修理一张已经倾斜的椅子入手，到最后成功运用所学的三角形的稳定性的知识解决了这个问题，让学生体验到了数学知识源于生活，又服务于生活，在这样运用知识解决了日常生活中的实际问题的具体体验中，培养每一位学生都能用数学的眼光、数学的意识去观察生活，加深学生对数学问题的理解，增强学生学好数学的信念，提高了学生解决实际问题的能力。
2003.5
2． 几何在生活中的应用。（第二组）
几何初步知识为现实问题的解决提供了有用的工具，使得一些实际问题的研究可以转化为直观简明的几何图形研究.我们可以用学过的几何知识解释生活、生产中某些做法的原因，也可以用几何知识对实际问题的结果进行计算论证，还可以用几何设计解决实际问题的方案.
一、解释原因
例1 刚开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是为什么?
答：先摆好的两张课桌可以看作两点，确定一条直线，其他课桌沿这条直线摆好，就会使一列课桌摆放得整齐有序.
例2 如图，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗?为什么?
答：两条垂线平行，根据“同位角相等，两直线平行”判断.
二、设计解决问题方案
例3 往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站.
问：(1)有多少种不同的票价?(2)要准备多少种车票?
解：把车站和三个停靠点当作一条直线上的五个点，如图，票价视路程的长短页变化，实际上就是要找上图中有多少条不同的线段.因图中线段点条数有(4＋3＋2＋1)=10(条)，故票价有10种，但同一段路，往返时起点和终点发生变化，所以得准备20种车票.
例4 从市区中心“O”点出发的一条直线公路两旁共有十个地区需要安装自来水(水以市中心出发).市中心与A地的距离为30千米，其余各地之间距离如下图，现有粗细两种水管可以选用，粗管足够供给各区用水，细管只能供一个区用水.安装费用，粗管每千米8000元，细管每千米2000元，把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程总费用，请你设计一种最节省的安装方案，并求出施工所需总费用.
分析：从0→A→B→C→D→E→F宜采用粗管；F→G用粗管或细管均可G→H，G→M，G→N分别安装一根细管.
理由是 ： 从O→A必用粗管无疑，从A→F用粗管费用为：(5＋2＋4＋2＋3)×8000=128000(元).
分别都是细管为 (5＋7＋11＋13＋16)×2000=104000(元).
费用较接近，但用细管则影响后面各区也得用细管接水，故选择用粗管合适，运用类似计算可知上述设计费用最少共要
S=(30＋5＋2＋4＋2＋3＋2)×8000＋2×2000＋（2＋2）×2000
＋（2＋5＋2）×2000=414000(元).
例5 如图，某汽车公司的营运的公路AB段有四个车站依次为A、C、D、B，AC=CD=DB.
现想在AB段建一个加油站M，要求使A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站M此花费的总时间最少，试找出M的位置.
分析 ： 本题实际上是在线段AB间找一点M，使S=AM＋CM＋DM
＋BM最小，可就M在AC间，CD间，DB间三种情况分别求出S，再进行比较，找出符合要求的M点.
解：若加油站选在AC间，设为M，则S1=AM′＋CM′＋DM′＋BM′=(AM′＋BM′)=(CM′＋DM′)=AB＋CD＋2CM′.
若加油站选在CD间(包括C、D)设为M〃则S2=AM〃＋CM〃＋DM〃＋BM〃=(AM〃＋BM〃)＋(CM〃＋DM〃)=AB＋CD.
若加油站选在DB间，设为M�则S3=AM�＋CM�＋DM�＋BM�=AB＋CD＋2DM�.
可是在 S1、S2、S3中S2最小，并且S2是一个固定的值，所以加油站M选在CD段(包括C、D)任一点均可.
例6 如图是某风景区的旅游线路示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位：千米)一学生从A出发，回答下问.
(1)当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由.(不考虑其他因素).
解：(1)设CE的长为x千米，依题意得1�6＋1＋x＋1=2×(3－2×0�5).
解得 x=0�4. 答：CE的长为0�4千米.
若步行路线为A—D—C—B—E—A(或A—E—B—C—D—A).
则所用时间为：1／2(1�6＋1＋1�2＋0�4＋1)＋3×0�5=4�1(小时).
(2)若步行路线为 A—D—C—E—B—E—A(或A—E—B—E—C
—D—A).
则所用时间为：1／2(1�6＋1＋0�4＋0�4×2＋1)＋3×0�5=3�9(小时).
因此，步行路线为：A—D—C—E—B—E—A(或A—E—B—E
—C—D—A).
例7 某平面网络图的一个局部设计中，根据实际需要，要使任何三条都不交于一点的10条，直线恰有31个交点，请你设计出符合这一要求的直线分布图.
分析：平面上的10条直线，若两两相交，且无三条交于一点，则可出现45个交点，若其中有两条直线平行，则减少一个交点；有三条直线平行，则再减少2个交点，即共减少3个交点，有4条直线平行，则再减少3个交点，即共减少6个交点；有5条直线平行，则再减少4个交点，即共减少10个交点……又因为45－31=14，而1＋3＋10=14，所以可得如下设计方案：一组5条平行线，一组3条平行线，一组2条平行线，如上图所示�
三、实际问题的论证与计算
例8 某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯?
解：由题意可知，钟面上共装有60只小彩灯，时钟两只彩灯所夹的角是6度。每走一分钟，分针转过的角度是6度，时针转过的角度是0�5度，晚上九点三十分，时针与分针所夹的角度为105度，此角内部有17只彩灯，再过五分二十秒，分钟转动的越过的彩灯有5只，时钟转动尚未越过一只彩灯，于是角α内共有17－5=12只小彩灯.
例9 在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5有5个机器人在工作，现欲设一零件供应点，问设于何处，可使5个机器人与它的距离的和最小?如果是6个机器人，则怎样?一般地，在n个机器人的情况下，又应如何设置?
分析：(1)在5个机器人的情况下，设在A3处为最佳，这时总距离为A1A5＋A2A4，如果不设于A3处，而设于X处，则总距离应为A1A5＋A2A4＋A3X，X／A1A2A3A4A5
(2)当直线上有6个机器人时，则设在A3与A4间的任何位置都可以的，其总距离为A 1A 6＋A 2A 5＋A 3A 4�
(3)一般地，当n为奇数时，供应点设在第几个点处，当n为偶数时，与中间的任何一点都可以.
例10 如图，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得铁路走向是北偏东68°28′，如果A、B两地同时开工，那么在B地按北偏西多少度施工，才能使铁路在山腰中准确接通?为什么?
答：111°32′.根据方位角定义，从A、B两点作出，正北方向的表示线，则证明互相平行 ， 适时角A与角B是同旁内角，角B=180°－68°28′=111°32′.
例11 如图，某商厦一楼营业大厅装修面所用的三种花岗石板规格如图，图中数据单位为m.
现要设计一种地面装修方案，要求各种规格的板料按一定的规律排列，且相同的板料不相邻，已知大厅地面是一个15m×20m的长方形，画出装修图案，并计算出各种板料分别要多少块(不计施工中的损坏)?
分析：根据三种板料的规格和装修要求，如图中能黑与灰的短边相接，灰与红的长边相接，那么，这是一种满足装修要求的图案.
解：如图，是一种符合要求的装修图案，因为
20=(0�2＋0�6)×25， 15=(0�6＋0�2)×18＋0�6，
25×18=450.
所以，大厅地面共有450个(0�6＋0�2)×(0�2＋0�6)m2的正方形和25个(0�2＋0�6)×0�6m2的长方形，每个正方形中有1块黑色石板，1块红色石板和2块灰色石板，每个长方形中有1块红色石板和1块灰色石板，于是共需黑色石板450块，红色石板450=25=475块，灰色石板450×2=25=925块.
例12 如图，A、B两地之间有两条平行的河，一河宽为a，另一河宽为b，现欲在两条河上各造一座桥(注意：桥必须与岸垂直)，使得A、B之间的路程最短，试找出造桥位置.
分析：假设桥已造好，如图中的MM 1、NN 1，则MM 1=a、NN 1=b，从A到B的最短路线为A—M—M1—N1—B，因MM1，NN1长度是固定的，要使总路程最短，只需AM＋M1N1＋BM最短，不妨设想自A、B分别先过了两桥，即平移MM1至AA1，平移NN1至BB1连接A 1M 1、B1 N 1，因为AA 1M 1M和BB1NN1都是平行四边形，所以A 1M 1⊥AM，B 1N 1⊥BN，要使从A至B路程最短，只需A 1M 1＋M 1N 1＋B 1N 1最短，即A 1至B 1路程要最短(此时桥已过，河不考虑)于是连A 1B 1的线段，应该是符合要求的，据此即可得出造桥方案.
可见，应用几何知识进行方案设施，不仅合理，还直接产生经济效益.应用平行线性质对工程建设的线路进行准确定位，确保工程准时，准确施工，说明数学知识对生活、生产的指导意义.
2003.5

结题报告
一、数学适应源于生活，用于创设问题情境
生活中充满了数学，数学就在我们周围，让学生学习数学，可从他们已有的经验和已有的知识出发，有目的的，合理地创设出一些贴近学生生活实际的问题情境，把生活中的实际问题抽象成有兴趣的数学问题，只要引起学生的兴趣，就会大大增加学生的求知欲，学生就会主动地去开启智慧之门。
例如，在学习归一应用题时，我出示了这样一道习题，让学生练习。“使用139全球通手机，月租费50元，每分钟通话费0.4元；而某一人用136神州行手机，没有月租费，每分钟通话费0.6元，而这个人用136手机，每月计费150元以上，若他要换用全球通手机合算吗？”这些题目，是学生从示接触过的，又很贴近学一的现实生活。通过让学生业计算，既是让学生对所学知识的巩固，对现实生活的了解，又很好地创造了生活的新方法，激发了学生学习的兴趣。
又例如，在学习“圆的面积”的时候，可以设置疑问。“为什么自来水的管道是圆形的而不是长方形的”、“你们有没有见过正方形的自来水管”，这样一个带有生活常识的问题。一提出，学生马上对它充满兴趣，交头接耳，议论纷纷，这样使教材的内容融入趣味的生活情节中，让学生带着兴趣去学习新知识，使学生尝试成功的喜悦，诱发学生再次学习的兴趣。
二、数学知识用于生活，使学生了解生活实际
在数学教学中

研究性学习：“数学在生活中的应用”结题报告

高一（7）班研究性学习小组

1． 让同学们感受数学，体会数学的价值。“数学在生活中的应用”的研究性学习让同学收集和开发自己生活中的素材，感受数学与我们现实生活的密切关系，让大家感受生活与数学同在，来体验数学自身价值。

2． 让同学们领悟数学，思想升华。“数学在生活中的应用”的研究性学习让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，形成自身有效的知识，使自己的思想得到进一步的升华。

3． 让同学们会用数学。“数学在生活中的应用”的研究性学习让自己学会应用数学，达到直接为社会创造价值的最终目的。

一． 研究过程

1．成立课题小组（第一学期第12周）。

2．开题（第一学期第13周）。组织学生做好开题报告，介绍本课题的选题背景、立意、课题论证和实施计划。

3．研究。（第一学期第14周至第二学期第15周）在老师的启发引导下，本课题小组同学积极参与，利用课余、课外时间，通过数学课本、化学资料等对“数学在生活中的应用”课题----如“用怎样的蜂窝煤煲烫较省煤”等进行探索、研究和计算，还有部分同学对研究成果通过实验来验证，体现了大家严谨的科学态度。在老师的指导下，将有关“数学在生活中的应用”的研究成果和心得体会写成小论文。

二． 课题：“数学在生活中的应用”的研究成果

小论文：用怎样的蜂窝煤煲烫较省煤（见附件1）

三． 心得体会

通过这次研究性学习我们学会了很多东西，也懂得了很多。以前学数学一般是理论性的比较多，缺乏与实际的联系，学了不知道怎么用。这次研究性学习的最大所得，不在于取得什么成果，而是培养一种思维习惯，一种将现实生活中的现象转化为问题并进行研究的习惯。当我们在黑板上写字，用力过大而将粉笔折断时，是否想到了粉笔多长才是最优化长度；又当我们去打电话时，是否能够联想到这类似于“函数模型”，从而求出电话费与时间的函数。甚至当我们玩游戏时，能否用离散和概率的思想。不禁一笑后，你会发现，其实这些问题都来自于我们的生活，但是它们的复合与延伸，就可能涉及到今日科学的前沿。

另外感觉自己的知识面还是不够宽，例如老师给了很多有价什的问题，由于我们知识浅薄，最终我们选择了“用怎样的蜂窝煤煲烫较省煤”等进行探索、研究。对问题数据计算那块还行，但对计出的数据找规律时，就遇到了困难，老师给我们作了指导。在如果平时学习时，多注意理论与实践的结合，学以致用，做起研究性学习就更能得心手。

研究性学习毕竟是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。所以组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这也是 研究性学习带给我们的乐趣所在。

研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加研究性学习小组，也给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。

——《购房中的数学》课堂教学实录

一、教学设计：

怎样才能使学生在学习知识的过程中又长智慧，又长能力呢？针对这个问题，我根据新课程标准提倡的“人人学有价值的数学”这个基本教学理念，设计了这节《购房中的数学》数学实践活动课。我设计这节课的教学目的就是让学生应用所学的数学知识去体验发现生活中的数学问题、并学会应用所学的数学知识解决生活中的数学问题。全课分为四个环节进行，首先课前让学生走出课堂对南昌市的房地产进行社会调查初步感知“百分数”就在我们身边，像：绿化率，房屋的面积等等；然后让学生应用已有的数学知识解决购房遇到的数学问题；接着学生大胆走下课堂，融人听课教师之中推荐自己了解和设计的房型，给学生提供了展示自己的极好机会，既建立起和谐的师生关系，又使学生能在课堂上得到了能力的培养和锻炼；最后就学生在推荐过程中发现的问题再次给予信息，让学生自行解决。达到生活需要学习数学，数学又能解决生活问题，实践中又发现问题，再进行研究解决，不断延续的学习的境界。

二、教学片段实录

师：南昌正在建设花园城市，经过一年的建设，你能告诉听课的老师，南昌发生了那些变化吗？

生：南昌的道路通顺了。

生：南昌的胜利路变成了步行街。

生：南昌的房子变得越来越漂亮了。

师：的确南昌变得越来越美，南昌的房子也变得越来越漂亮了，使南昌的房地产进发出勃勃生机。让我们一起融入南昌的发展。

师（课件展示一幅南昌市房地产地形平面图）：这是一张南昌市房地产地形平面图，如果要你为老师选择一套住房，你会考虑那些因素呢？

生：交通、环境、价格……

生：合法性、结构……

生：光线、绿化率……

师：同学们说得非常好，其实在这些因素中就蕴藏着很多的数学问题，下面就让我们一起解决一些购房中的数学问题。

出示课题。

师：现在的人们追求高品质的生活，环境问题是构房首先要考虑的问题之一，根据有关部门的规定，小区绿化率应达到40%以上。（课件出示三个楼盘的绿化情况）请你根据老师调查的信息，看一看这三个楼盘的绿化率达到了国家标准吗？

生：达到了，因为绿化率是绿化面积占总面积的百分之几，我用你给我的信息，用7．58。15．77—48 07％所以到达了国家标准。

生：我是这样想的，用 15．77/40％=6.308（平方米），7.58超过了6.308，所以达到了国家标准。

生；我也可以用．58/40％＝18．95（平方米）因为18．95大于15．77，所以也应达标了。

师：为了便于同学们的推荐活动，我们还要给各位老师设计一份房产推荐书。

课件展示房产推荐书（见附）

师：针对这份房产推荐书有什么不明白的地方吗？

生：什么是契税？ 2％表示什么意思？

生：售价与总价有什么区别？

生：一次性付款优惠4％是什么意思？

生：反馈意见是什么意思？

学生提出的问题，教师采用学生、教师回答相结合的方法解答。

学生自主设计，进行推荐活动。

师：刚才同学们的表现非常律，在推荐活动中你们又有什么疑问吗？

生：有老师问，这个面积是建筑面积还是使用面积？

生：老师说这套房子的价格太贵了，他想贷款，可是我又不知道银行贷款的利率是多少？

生：有老师说我设计的房型不合理，所以我要进一步改进。

师：这些问题又是我们下一步研究的内容，刚好老师这里有些关于银行贷款的信息，看看能不能给你一些帮助。

出示信息：银行1－5年的贷款利率是4．77％

学生进行设计。

师：没有完成没有关系，这作为我们的设计作业课后继续完成。

1，日常购物，最简单的了
2，财务报表用到统计分析
3，市场价格和销售量分析时要用到抛物线的极大值和极小值
4，赌博：要用到概率问题，博奕论问题
5，设计齿轮，轴承，螺杆，灯泡形状等要用到各种各样的数学曲线，例如阿基米德螺旋，渐开线，双曲线等
6，一切物理问题几乎都脱离不了数学计算
7，通过未知数解方程法，对于高次方程的求解
8，发射炮弹，卫星，要用到抛物线线性
9，分析各种变量互作的农业技术时，要用到方差分析，多重比较，还有多元线性回归与分析；
10，几何在木工家具制作，建筑框架，建材应力分析等方面应用
12，流体方程，液压系统，气动装置的设计。

人民币啊，关于钱的问题和数学相关的太多了