极限和有界有什么区别

一、性质不同

1、极限：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

2、有界：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

二、特点不同

1、极限：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

2、有界：如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”。

扩展资料：

极限中的单调收敛定理：

单调有界数列必收敛。 

柯西收敛原理：

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。

参考资料来源：百度百科-极限

参考资料来源：百度百科-有界

一、本质不同

1、极限：某一个函数中的某一个变量，在不断变化的过程中逐渐接近于某个值A。它不可能与a相吻合（“不等于a，但等于a”足以获得高精度的计算结果）。

这个变量的变化被人为地定义为“永远靠近而不停止”。它的趋势是“不断地极为靠近A点的趋势”。

2、有界：如果有两个常数m和M，函数y=f（x），x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D，函数y=f（x）有界于d，其中m为下界，M为上界。

二、几何中的应用不同

1、有界

（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

2、极限

当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的Xn都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。

换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

扩展资料：

极限的由来：

与所有科学的思维方法一样，极限思想也是社会实践头脑中抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代。例如，祖国刘徽的割圆术是在研究直观图形的基础上，对极限思想的原始可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也包含着极限的思想，但由于希腊人对无限的恐惧，避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

参考资料来源：百度百科-有界

参考资料来源：百度百科-极限

定义分别如下：
极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。
有界集：
设在R中有一个集合A，如果存在正数M<∞：

|x-y|≤M，其中任意x,y∈A；
就称A为有界集，即A是有界的。

以n趋于无穷时的数列举例

有界是指|Xn|≤M（M>0），n趋于无穷时也是|Xn|也不会超过M，但是虽然|Xn|不会超过M，Xn却可以在-M到M内上下波动，而如果Xn的极限是M，那么随着n的增大Xn是越来越接近M的值，不可能出现上下波动的情形

极限存在必有界，有界不一定极限存在。