高等数学 多元函数积分学 求转动惯量

ρ(θ) = a(1 - cosθ)
ρ'(θ) = asinθ
第一，要求重心坐标，在知道线密度的情况下还需要知道这个曲线的质量，即要求曲线的长度，即求曲线的第一型曲线积分，根据极坐标我们可以看到，这个曲线是关于x轴对称的，因此我们可以只对x轴以上的部分(0<=θ<=π)进行积分，曲线总长为积分结果的两倍。
I = ∫ds = ∫√[(ρ(θ))^2 + (ρ'(θ))^2] dθ = a∫√[(1-cosθ)^2 + (sinθ)^2] dθ = a∫√(2-2cosθ) dθ
又 2-2cosθ = 2 - 2(1 - 2(sin(θ/2))^2) = 4(sin(θ/2))^2
因此√4(sin(θ/2))^2 = 2sin(θ/2) (根据θ的范围开方不带负号)
故而原积分为 I = a∫2sin(θ/2)dθ = 4a∫sin(θ/2)d(θ/2) = -4acos(θ/2)
积分区间为0到π，可得结果为 I = -4a(cos0.5π) - (-4acos0) = 4a
那么整个曲线的长度就是8a，可得整个曲线的重量为 G = 8μa 。
根据重心的公式有
Xc = (∫μxds)/G
Yc = (∫μyds)/G
由于前面已经说过，图形是关于x轴对称的，因此必有 Yc = 0 ，故而只需要求 Xc 即可。
Xc = (∫μxds)/G = [∫μ(a(1-cosθ)cosθ)·(2asin(θ/2))·dθ]/G = - 11a/15
故重心坐标为 (-11a/15 , 0)
转动惯量公式为
Ix = ∫(y^2)μds = ∫μ(a(1-cosθ)sinθ)^2·(2asin(θ/2))dθ
= -4μa^3∫(sinθ)^2(1-cosθ)^2d[cos(θ/2)]
= -4μa^3∫(2sin(θ/2)cos(θ/2)]^2·[2sin(θ/2)]^2d[cos(θ/2)]
= -64μa^3∫(t^6 - 2t^4 + t^2)dt ( t=cos(θ/2) ，相应的积分区间变换为上限0，下限1)
= -64μa^3[(1/7)t^7 - (2/5)t^5 + (1/3)t^3] |(1→0)
= 64μa^3[(1/7) - (2/5) + (1/3)] = (512/105)μa^3
上述求的是0到π的积分，根据对称性，总的关于x的转动惯量为2Ix = (1024/105) μa^3
Iy = ∫(x^2)μds
求法同上，过程略。

套公式就好了啊