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已知等差数列{a n }的公差大于0,且a 2 ,a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根,数列{b n }的前n项和为S n ,
已知等差数列{a n }的公差大于0,且a 2 ,a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根,数列{b n }的前n项和为S n ,
2024-12-19 15:03:31
推荐回答(1个)
回答1:
(1)因为a
2
,a
5
是方程x
2
-12x+27=0的两根且等差数列{a
n
}的公差大于0,
所以解得a
2
=3,a
5
=9,所以公差
d=
a
5
-
a
2
5-2
=2
,所以a
n
=a
2
+(n-2)d=2n-1.
当n=1时,
b
1
=
S
1
=
1-
b
1
2
,解得
b
1
=
1
3
,
当n≥2时,
b
n
=
S
n
-
S
n-1
=
1
2
(
b
n-1
-
b
n
)
,
所以
b
n
b
n-1
=
1
3
(n≥2)
,所以数列{b
n
}是以b
1
为首项,公比
q=
1
3
的等比数列,
所以
b
n
=
b
1
q
n-1
=
(
1
3
)
n
=
1
3
n
.
(2)由(1)知,
c
n
=
a
n
b
n
=
2n-1
3
n
,则数列{c
n
}的前n项和为T
n
,
则
T
n
=
1
3
+
3
3
2
+…+
2n-1
3
n
①
1
3
T
n
=
1
3
2
+
3
3
3
+…+
2n-1
3
n+1
②
①-②得
2
3
T
n
=
1
3
+
2
3
2
+
2
3
3
+…+
2
3
n
-
2n-1
3
n+1
=
1
3
+
2
3
2
[1-
(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-
2n-1
3
n+1
,
整理得
T
n
=1-
n+1
3
n+1
,因为n∈N
?
,所以
n+1
3
n+1
>0
,
故
T
n
=1-
n+1
3
n+1
<1
.
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