求证x^3+2y^3=z^3有没有整数解

2024-12-20 07:58:05

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回答1：

存在无数的整数解

证明：
x^3+2y^3=z^3
x^3+y^3=z^3-y^3
(x+y)(x^2-xy+y^2)=(z-y)(z^2+zy+y^2)
令：
x+y=z-y
x^2-xy+y^2=z^2+zy+y^2
得：
2y=z-x
x^2-z^2-(x+z)y=0，(x+z)(x-z-y)=0
当x+z=0即x=-z时：2y=z-x=2z，y=z
所以：x=-z，y=z，z为任意整数时，满足方程
因此，方程存在无法整数解

回答2：

x^3+2y^3=z^3
x^3-z^3=-2y^3
右边为2的倍数
则左边也为2的倍数，所以x,y同为奇数或偶数
(1) 若x,y同为偶数，x=2m,y=2n
则 4m^3-4n^3=-y^3
那么 y为偶数，y=2k
m^3-n^3=-2k^3 与原方程同解
k=y，
但y=2k, 矛盾，无解
(2) 若x,y同为偶数，x=2m+1,y=2n+1
同理：无解