求08年辽宁和浙江数学（理）高考题和答案

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A
7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， ，
又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ． 4分
联立方程组 解得 ， ． 6分
（Ⅱ）由题意得 ，
即 ， 8分
当 时， ， ， ， ，
当 时，得 ，由正弦定理得 ，
联立方程组 解得 ， ．
所以 的面积 ． 12分
18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分
（Ⅱ） 的可能值为8，10，12，14，16，且
P（ =8）=0.22=0.04，
P（ =10）=2×0.2×0.5=0.2，
P（ =12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，
P（ =14）=2×0.5×0.3=0.3，
P（ =16）=0.32=0.09．
的分布列为

8 10 12 14 16
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
9分
=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分
19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中， ， ，又由已知可得
， ， ，
所以 ， ，
所以 平面 ．
所以平面 和平面 互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值． 8分
（III）解：连结BC′交EQ于点M．
因为 ， ，
所以平面 和平面PQGH互相平行，因此 与平面PQGH所成角与 与平面 所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面 ，因此EM与 的比值就是所求的正弦值．
设 交PF于点N，连结EN，由 知
．
因为 ⊥平面PQEF，又已知 与平面PQEF成 角，
所以 ，即 ，
解得 ，可知E为BC中点．
所以EM= ，又 ，
故 与平面PQCH所成角的正弦值为 ． 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得 ，故
， ， ， ，
， ， ，
， ， ．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为 ，所以 是平面PQEF的法向量．
因为 ，所以 是平面PQGH的法向量．
因为 ，所以 ，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，又 ，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得 ， ，
所以 ，又 ，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为 ，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由已知得 与 成 角，又 可得
，
即 ，解得 ．
所以 ，又 ，所以 与平面PQGH所成角的正弦值为
． 12分
20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ，
故曲线C的方程为 ． 3分
（Ⅱ）设 ，其坐标满足

消去y并整理得 ，
故 ． 5分
若 ，即 ．
而 ，
于是 ，
化简得 ，所以 ． 8分
（Ⅲ）

．
因为A在第一象限，故 ．由 知 ，从而 ．又 ，
故 ，
即在题设条件下，恒有 ． 12分
21．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）由条件得
由此可得
． 2分
猜测 ． 4分
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知 对一切正整数都成立． 7分
（Ⅱ） ．
n≥2时，由（Ⅰ）知 ． 9分
故

综上，原不等式成立． 12分
22．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ） ． 2分
故当 时， ，
时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减． 4分
由此知 在 的极大值为 ，没有极小值． 6分
（Ⅱ）（ⅰ）当 时，
由于 ，
故关于 的不等式 的解集为 ． 10分
（ⅱ）当 时，由 知 ，其中 为正整数，且有
． 12分
又 时， ．
且 ．
取整数 满足 ， ，且 ，
则 ，
即当 时，关于 的不等式 的解集不是 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ． 14分