讨论分段函数y(x)在x=0处的连续性和可导性

2025-02-24 03:52:28

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回答1：

连续性：左连续：limx->0-
(-x)=0
右连续：limx->0+
(x)=0
左连续=右连续
所以函数y在x=0出连续。
可导性：左导数：limx->0+
(-x-0)/(x-0)=-1,右导数：limx->0-
(x-0)/(x-0)=1
由于左右导数不相等，所以函数y在x=0处不可导。
注意：x-0时，y=0。同时，在图形上可以看出x=0处是一个折点。

回答2：

无穷小和有界函数相乘结果是无穷小
sin(1/x)和cos(1/x)均为有界函数
故lim(x→0)x^2*sin(1/x)=lim(x→0)x^2*cos(1/x)=lim(x→0)x*sin(1/x)=lim(x→0)x*cos(1/x)=0
故在x=0处连续、可导
PS:左为从数轴左边趋近，应趋近（0-），右为从数轴右边趋近，应趋近（0+）。