如何理解函数极限

在数学分析中，极限的证明往往是用ε-δ语言来证的，而这种证明方式，也是分析数学的最精髓的地方。在下愚钝，在大学毕业之后才慢慢领会这种证明方式的奥妙。ε-δ语言的主要表现方式是，对于函数f(x)在x0的邻域内，对于任意正数ε,δ，有|x-x0|<δ，且|f(x)-A|<ε，则称当x趋近x0时，f(x)趋近于A。这个定义的最大特点是，f(x)在x0处可以没有定义，但当x无限接近x0时，f(x)无限接近某一个数A。而ε-δ语言最难理解的，无非就是ε，δ这两个任意正数，在证明的过程中，也经常会看到很多习题中会用2ε，ε/2等（注：吉米多维奇是一套不错的习题，对于数学分析入门很有帮助，但若已入门，个人觉得，吉米多维奇更适合理科非数学专业做数1用）。其实我个人感觉，这里的ε，δ就是无穷小，或理解为无限接近，这两个无穷小仅仅是符号标示的不同，其本质都是一样的。但无穷小不是0，最浅显的例子就是f(x)=(x^2-4)/(x-2)，这里x不能等于2，但当x无限接近2的时候，f(x)无限接近4。也就是说，点(x,f(x))只能无限接近(2,4)，但两点不能重合，如何说明这个无穷小呢？我就随便找一个任意小的正数δ，使得x与2的距离总是比它小，再随便找一个任意小的正数ε，使得f(x)与4的距离总比ε小。
至于2ε是不是无穷小，这个问题可以说是在牛顿和莱布尼茨创立微积分学说后，引发的第二次数学危机的一个问题，2ε是无穷小，那么3ε，4ε，……十万乘以ε还是不是无穷小呢？（见谷堆悖论）直到后来康托创立集合论，才解决了第二次的数学危机。如果楼主是读数学系，等以后学实变函数的时候，包括勒贝格的测度论，就会对这里领会得更为透彻。（ps：康托是个非常了不起的数学家，尽管罗素悖论引发了第三次的数学危机，以及后世人如ZF公理对康托集合论进行补充，但仍不掩康托的伟大。不得不说，康托到目前为止是不可超越的。)

极限的定义是微积分中最为抽象的概念,一般不是数学专业的人也不要求掌握用定义去证明极限.