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高数求极限。x趋向于零，lim(sin^2x-x^2cos^2x)⼀x^2sin^2x，我这么做怎么错了？

2024-12-29 01:00:35

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回答1：

lim(sin²x-x²cos²x)/x²sin²x=lim(sin²x-x²)/x^4
这一步你错了，cos²x不可直接替换成1
乘除可替换，加减不可替换
应该把整个cos²x提出来再替换
lim(sin²x-x²cos²x)/x²sin²x=limcos²x(tan²x-x²)/x^4=lim(tan²x-x²)/x^4

回答2：

用等价无穷小代换的本质就是相当于乘以(sinx)/x，或(tanx)/x，或(tanx)/(sinx)，因为它们求极限之后等于1，结果不变

lim(sin²x-x²cos²x)/x²sin²x = lim(tan²x-x²)/x²tan²x
你现在的代换相当于把分子中的其中一项tan²x代换成sin²x，而这不能通过乘以极限为1的任何一个式子得到，所以不能这样代换

回答3：

等价的注意事项里有：
要考虑整体性
分子或分母可以由几个部分相乘
其中各部分可以分别拿来等价，
而不能几部分相加（减），拿其中加减部分来等价