二元函数f(x,y)x^3+y^3-3xy的极值点是（1，1）

二元函数f(x,y)x^3+y^3-3xy的极值点是（1，1）过程怎么求？

2024-12-27 18:28:39

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回答1：

df(x,y)=(3x^2-3y)dx+(3y^2-3x)dy

令 df(x,y)=0

所以3x^2-3y=0 3y^2-3x=0

所以 x=1,y=1

所以极值点是（1，1）

注意：

（1）极值点只关心在内的局部函数值，不关心是否可导。因此函数在极值点处可能不可导。

（2）极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

（3）极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

（4）可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

回答2：

df(x,y)=(3x^2-3y)dx+(3y^2-3x)dy
令 df(x,y)=0
所以3x^2-3y=0 3y^2-3x=0
所以 x=1,y=1
所以极值点是（1，1）

回答3：

fx(x,y)=3x^2-3y
fy(x,y)=3y^2-3x
-------------------
fx(1,1)=3*1^2-3*1=0
fy(1,1)=3*1^2-3*1=0
得证