数学初三压轴题

2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）
14.（08江苏常州）（本题答案暂缺）28.如图,抛物线 与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
(1) 求点A的坐标;
(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当 时,求x的取值范围.

13.（08江苏淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)
如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标；
(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．

14.（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的 ， 处，直角边 在 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至 处时，设 与 分别交于点 ，与 轴分别交于点 ．
（1）求直线 所对应的函数关系式；
（2）当点 是线段 （端点除外）上的动点时，试探究：
①点 到 轴的距离 与线段 的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及 取最大值时点 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08江苏连云港24题解析）24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知 两点的坐标分别为 ．
设直线 所对应的函数关系式为 ． 2分
有 解得
所以，直线 所对应的函数关系式为 ． 4分
（2）①点 到 轴距离 与线段 的长总相等．
因为点 的坐标为 ，
所以，直线 所对应的函数关系式为 ．
又因为点 在直线 上，
所以可设点 的坐标为 ．
过点 作 轴的垂线，设垂足为点 ，则有 ．
因为点 在直线 上，所以有 ． 6分
因为纸板为平行移动，故有 ，即 ．
又 ，所以 ．
法一：故 ，
从而有 ．
得 ， ．
所以 ．
又有 ． 8分
所以 ，得 ，而 ，
从而总有 ． 10分
法二：故 ，可得 ．
故 ．
所以 ．
故 点坐标为 ．
设直线 所对应的函数关系式为 ，
则有 解得
所以，直线 所对的函数关系式为 ． 8分
将点 的坐标代入，可得 ．解得 ．
而 ，从而总有 ． 10分
②由①知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．

． 12分
当 时， 有最大值，最大值为 ．
取最大值时点 的坐标为 ． 14分

15.（08江苏连云港）25．（本小题满分12分）
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某地有四个村庄 （其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

（08江苏连云港25题解析）25．解：（1）如图所示： 4分

（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分
（3）此中转站应建在 的外接圆圆心处（线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点处）． 10分
理由如下：
由 ，
， ，
故 是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为 的外接圆，
设此外接圆为 ，直线 与 交于点 ，
则 ．
故点 在 内，从而 也是四边形 的最小覆盖圆．
所以中转站建在 的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
12分

16（08江苏南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点 的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段 所表示的 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

（08江苏南京28题解析）28．（本题10分）
解：（1）900； 1分
（2）图中点 的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． 2分
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为 ； 3分
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为 ，所以快车的速度为150km/h． 4分
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶 到达乙地，此时两车之间的距离为 ，所以点 的坐标为 ．
设线段 所表示的 与 之间的函数关系式为 ，把 ， 代入得

解得
所以，线段 所表示的 与 之间的函数关系式为 ． 6分
自变量 的取值范围是 ． 7分
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把 代入 ，得 ．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是 ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 10分
17.（08江苏南通）（第28题14分）28．已知双曲线 与直线 相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线 上的动点．过点B作BD‖y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC‖x轴交双曲线 于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

（08江苏南通28题解析）28．解：（1）∵D（－8，0），
∴B点的横坐标为－8，代入 中，得y=－2．
∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
从而 ．……………………3分
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴ ，B（－2m，－ ），C（－2m，－n），E（－m，－n）． ……4分
S矩形DCNO ，S△DBO= ，S△OEN = ， …………7分
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴ ． ……………………8分
由直线 及双曲线 ，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．………………………………………………9分
设直线CM的解析式是 ，由C、M两点在这条直线上，得
解得 ．
∴直线CM的解析式是 ．………………………………………11分
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是
．
同理 ，…………13分
∴ ．……………14分

18.（08江苏宿迁）27．（本题满分12分）
如图，⊙ 的半径为 ，正方形 顶点 坐标为 ，顶点 在⊙ 上运动．
(1)当点 运动到与点 、 在同一条直线上时,试证明直线 与⊙ 相切；
(2)当直线 与⊙ 相切时，求 所在直线对应的函数关系式；
(3)设点 的横坐标为 ，正方形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并求出 的最大值与最小值．

（08江苏宿迁27题解析）27．解：(1) ∵四边形 为正方形 ∴
∵ 、 、 在同一条直线上 ∴ ∴直线 与⊙ 相切；
(2)直线 与⊙ 相切分两种情况:
①如图1, 设 点在第二象限时,过 作 轴于点 ,设此时的正方形的边长为 ,则 ,解得 或 (舍去)．
由 ∽ 得
∴ ∴ ，
故直线 的函数关系式为 ；
②如图2, 设 点在第四象限时,过 作 轴于点 ,设此时的正方形的边长为 ,则 ,解得 或 (舍去)．
由 ∽ 得
∴ ∴ ，故直线 的函数关系式为 .
(3)设 ,则 ,由 得
∴
∵
∴ .

19.（08江苏泰州）29．已知二次函数 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0， ）。
（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）
（2）若反比例函数 图像与二次函数 的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）
（3）若反比例函数 的图像与二次函数 的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为 满足2< <3，试求实数k的取值范围。（5分）
（08江苏泰州29题解析）九、（本题满分14分）29（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)…………………………1分
（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）
将（0，— ）代入，解得a= .
∴抛物线解析式为y= x2+x- …………………………………3分
（无论解析式是什么形式只要正确都得分）
画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分
（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分
由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分
（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1= x2+x- , y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），
y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即 ＞ ×22+2- ，解得K＞5。…………………………………11分
同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即 ×32+3— ＞ ，解得K＜18。…………………………………13
所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分

20.（08江苏无锡）27．（本小题满分10分）
如图，已知点 从 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以 为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心， 为半径作圆．设点 运动了 秒，求：
（1）点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的 的值．

（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过 作 轴于 ，
， ，
， ，
点 的坐标为 ． （2分）
（2）①当 与 相切时（如图1），切点为 ，此时 ，
， ，
． （4分）
②当 与 ，即与 轴相切时（如图2），则切点为 ， ，
过 作 于 ，则 ， （5分）
， ． （7分）
③当 与 所在直线相切时（如图3），设切点为 ， 交 于 ，
则 ， ，
． （8分）
过 作 轴于 ，则 ，
，
化简，得 ，
解得 ，
，
．
所求 的值是 ， 和 ． （10分）

21.（08江苏无锡）28．（本小题满分8分）
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

（08江苏无锡28题解析）28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
（3分）（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设 ，则 ， ．
由 ，得 ，
， ，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）
或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得 ， 是 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则 ， ， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的 去覆盖边长为30的正方形 ，设 经过 ， 与 交于 ，连 ，则 ，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形 ．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．

22.（08江苏徐州）（本题答案暂缺）28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2） 如图3，当 时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP与EQ满足的数量关系式为_________,其中 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

23.（08江苏盐城）（本题答案暂缺）28．（本题满分12分）
如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝ ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

24.（08江苏扬州）（本题答案暂缺）26．（本题满分14分）
已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E。
（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1），AM= AC且AD=A，求AE的长；（用含a的代数式表示）
（2）在（1）中，又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2：5，求a的值；
（3）若AM= AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；
（4）如果直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AM= AC。设AD长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围。（求x的取值范围可不写过程）

近两年的中考,在新课程改革的理念指导下,题型灵活､设计新颖､富有创意的压轴试题如雨后春笋般涌现,其中一类以轴对称､平移､旋转､翻折等图形变换与二次函数相结合的试题更是成为中考压轴大戏的主角,现例举2006年中考压轴题评析如下｡

一､ 图形翻折与二次函数相结合

[评析]此题把三角形的折叠放到坐标系中来研究,综合考察了折叠的性质,求点的坐标,求抛物线的解析式,直角三角形的判别等知识,既是代数与几何的有机结合,又有运动与静止的辩正统一,有梯度,又有一定的难度,需要学生具有扎实的基本功和综合运用数学知识解决问题的能力｡其中第(3)小题还要能够根据条件和图形的特点进行合理猜想,运用反证法来合理验证,体验了新课程的理念｡

二､ 图形旋转与二次函数相结合

例2.[宜昌]如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0)｡以AO为一边作矩形AOBC,使OB=2OA,点C在第二象限｡将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE｡过点A得直线y=kx+m(k≠0)交y轴于点F,FB=FA｡抛物线y=ax2+bx+c过点E､F､G且和直线AF交于点H,过点H作x轴的垂线,垂足为点M｡
(1)求k的值;
(2)点A位置改变使△AMH的面积和矩形AOBC的面积比是否改变?说明你的理由｡
解析:(1)根据题意得B(0,-2n),
当x=0时,y=kx+m=m, ∴ F坐标为(0,m)
而FB=-2n-m,又在Rt△AOF中,

[评析]此题通过矩形的旋转,考查了旋转变换,解直角三角形,求点的坐标,待定系数法求函数解析式,代数法求图形的面积等知识,有机地把代数､几何知识在坐标系中,融猜想与证明,既让学生欣赏了图形变换之美,又在数学探究过程中感悟了数学的动中取静,变中不变的辩证思想｡

三､ 图形平移与二次函数相结合

[评析]课改后,圆的知识虽然做了删减,在中考压轴题中失去了霸主地们,但圆与二次函数的综合仍是命题者关注的热点之一｡此题以直线与圆的几种位置关系为背景,以平移中的动圆为载体,巧妙地把圆､四边形的面积､三角形的全等等几何内容与二次函数的知识相联系,解决运动型几何最值问题,渗透了数形结合思想,分类讨论思想,具有很强的探索性｡

四､ 轴对称变换与二次函数相结合

例4.[烟台]如图,已知抛物线L1∶y=x2-4的图像与x有交于A､C两点,
(1)若抛物线L1与L2关于x轴对称,求L2的解析式;
(2)若点B是抛物线L1上的一动点(B不与A､C重合),以AC为对角线,A､B､C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D 在L2上;
(3)探索:当点B 分别位于L1在x轴上､下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由｡
解析:设L2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵ L2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),L1与L2关于x轴对称｡

∴ L2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)
∴ y=ax2+4
∴ 0=4a+4得 a=-1
∴ L2的解析式为y=-x2+4
(2) 设B(x1,y1)
∵ 点B在L1上
∴ B(x1,x12-4)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,A､C关于O对称
∴ B､D关于O对称
∴ D(-x1,-x12+4)
将D(-x1,-x12+4)的坐标代入L2∶y=-x2+4
∴ 左边=右边
∴ 点D在L2上
(3) 设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2×S△ABC=AC×│y1│=4│y1│
a. 当点B在x轴上方时,y1＞0
∴ S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴ S既无最大值也无最小值
b. 当点B在x轴下方时,-4≤y1＜0
∴ S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
∴ 当y1=-4时,S有最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点在D也在y轴上
∴ AC⊥BD
∴ 平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16

一个任意三角形，以三遍做等边三角形，求证四边形CFDE为平行四边形。

因为三角形ACF、ADB为等边三角形，所以角FAC、DAB等于60度

所以角FAD=角CAB

AB=AD,AC=AF

所以三角形AFD全等于三角形ACB(SAS)

同理

三角形BED全等于三角形BCA(SAS)

所以，AF=AC=DE

所以 DE=CF

因为 DF=EB=BC

所以 EC=DF

所以四边形CFDE为平行四边形。

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