若实数x，y满足x²+y²-2x+4y=0，求x-y的最大值

方法1: 函数图象法
设 x - y = k
则 y = x - k
这表示一条直线, 其截距为 -k
当 k 取最大时, 截距 -k 最小
斜率恒为 1 的直线 y = x -k 与圆在第四象限相切时, 截距 最小
而相切时, 经过圆心(1, -2) 和切点的(与 y=x-k 垂直的)直线为
y + 2 = -(x -1), 即
y = -x -1

切点坐标满足方程组
y = -x -1
x²+y²-2x+4y=0
则
x²+(x+1)²-2x -4(x+1) =0
2x² -4x - 3 = 0
x = 1 + (1/2)√10
y = -x -1 = -2 - (1/2)√10
x - y = 3 + √10
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方法2: 判别式法
设 x - y = k
将 x = y + k 代入到 x²+y²-2x+4y=0 中

y² + 2yk + k² + y² - 2y - 2k + 4y = 0
2y² + (2k + 2)y + k² - 2k = 0
由于点 (x,y) 在圆上, 关于 x 的方程必然有解
判别式
(2k+2)² - 8(k²-2k)
= -4k² + 24k + 4
= -4(k² - 6k -1) ≥ 0
k² - 6k - 1 ≤ 0
(k - 3)² ≤ 10
-√10≤ k -3 ≤√10
3-√10≤ k ≤ 3 + √10

所以 x - y 最大值为 3 + √10
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方法3: 三角函数法
x = 1 + √5cosθ
y = -2 + √5sinθ
x - y = 3 + √5(cosθ - sinθ)
= 3 + √10 cos(θ+45)
当 cos(θ+45) = 1 时, 取最大值, 与方法1 和 2 的结论相同

由方程可得(x-1)^2+(y+2)^2=5;
很明显是圆,且半径为根号5,
所以x-y最大值为2倍根号5