a>b>c ，a+b+c=1， a∧2+b∧2+c∧2=1， 求证 1<a+b<4⼀3且 8⼀9<a∧2+b∧2<1高中数学不等式

这样做：由a+b+c=1知（a+b+c）^2=1，展开得a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1,代入
a∧2+b∧2+c∧2=1得ab+bc+ca=0,又有a>b>c，知0=ab+bc+ca>ca+bc+cb=3bc,即
0>3bc,得b与c异号，又b>c 得b>0>c，即得1又有1-c^2=a^2+b^2>【(a+b)^2】/2=【（1-c）^2】/2,由平方差公式得：c>-1/3,代入原式a+b+c=1即证a+b<4/3。
又c>-1/3，即c^2<1/9,即8/9又c^2>0,所以a^2+b^2<1.
过程不太详尽，你自己整理一下就可以了。

首先，如果a+b<=1，即c>=0，那么a>b>c>=0，那么ab>0,ac>=0, bc>=0，因此
1=1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+2ab+2ac+2bc>1，矛盾，所以有a+b>1，c<0。
其次，2(a^2+b^2)>(a+b)^2，也即2(1-c^2)>(1-c)^2，3c^2-2c-1<0，解得
-1/3-1/3，所以a+b=1-c<4/3。
由上，1因此 8/9

要证明的结果可以化为证明-1/3
第一步证明c<0
(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-1=0
ab+bc+ac=0,因为三项不可能等于0,所以其中肯定有负值，结合a>b>c,所以肯定c<0

第二步证明c>-1/3
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(1-c)^2-2ab=1-c^2
2c^2-2c-2ab=0
c^2=ab+c
因为c<0,c^2>0,所以ab+c>0,ab>0
a+b>2√(ab)=2√(c^2-c)
1-c>2√(c^2-c)>0
解得-1/3
所以-1/3
a+b=1-c,1a^2+b^2=1-c^2,8/9